VII. Integrali di superfice

∫∫푃푑푦푑푧+

푆

푄푑푧푑푥+푅푑푥푑푦 =±∫∫ (푃,푄,푅)⋅ (푆푢

→

×푆푣

→

)⋅푑푢푑푣

푆푈푉

nel membro destro sotto il segno dell’integrale doppio abbiamo un prodotto scalare di due vettori.

Esercizio 1.
Calcolare l’integrale seguente di secondo tipo:

퐼=∫∫푥 푑푦 푑푧−

푆

2 푑푧 푑푥+푑푥 푑푦

dove S è la superficie chiusa con la frontiera il triangolo di vertici A(0, 0, 3), B(4, 2,1), C(2, 5, 3),
orientato in modo che per ogni punto (x,y,z) della S il vettore 풏⃗⃗ della perpendicolare sia orientato
positivamente rispetto ad S.

Soluzione.

Sia nel piano uv la superficie triangolare

A’B’C’ = Suv ={(푢,푣)∈푅^2 |푢+푣≤ 1 ,푢≥ 0 ,푣≥ 0 }

Una parametrizzazione della superficie triangolare ABC sarebbe:

(푥,푦,푧)=푢 ( 2 , 5 , 3 )+ 푣 ( 4 , 2 , 1 )+ ( 1 −푢−푣)( 0 , 0 , 3 )=( 2 푢+ 4 푣, 5 푢+ 2 푣,− 2 푣+ 3 )

oppure {

푥= 2 푢+ 4 푣

푦= 5 푢+ 2 푣

푧=− 2 푣+ 3

con (푢,푣)∈푆푢푣

Calcoliamo l’integrale dato con aiuto della formula (1)
Siccome la superficie triangolare ABC è orientato nel modo opposto con la sua immagine A’B’C’
davanti al integrale dobbiamo mettere il segno negativo.

Calcoliamo i jacobiani:

퐽푦푧=|^52

0 − 2

|=− 10 , 퐽푧푥=|^0 −^2

2 4

|= 4 , 퐽푥푦=|^24

5 2

|=− 16

퐼=∫∫푥 푑푦 푑푧−

푆

2 푑푧 푑푥+푑푥 푑푦 =−∫∫ [( 2 푢+ 4 푣)(− 10 )− 2 ⋅ 4 − 16 ]

푆푈푉

푑푢 푑푣

A

B

C

n

x

Y

Z

A’

1

C’

v

u

0 1

B’