I = ∫∫푆푈푉[ 20 푢+ 40 푣+ 24 ] 푑푢푑푣=∫ 01 푑푢 (^) ∫ 01 −푢[ 20 푢+ 40 푣+ 24 ] 푑푣=.......
2° Caso. La superficie orientata S è dato con dell’equazioni espliciti cartesiani.
Per esempio sia S data con l’equazione cartesiana z = z(x,y), allora
Si può usare la formula del primo caso considerando x e y come parametri u, v
cioè considerando che la superficie S è data con dell’equazioni parametriche:
{
푥=푥
푦=푦
푧=푧(푥,푦)
L’integrale di superficie di secondo tipo completo è una somma di tre integrali di superficie
secondo le proiezioni sui piani:
∫∫푆푃푑푦푑푧+푄푑푥푑푧+푅푑푥푑푦=∫∫푆푃푑푦푑푧+∫∫푆푄푑푧푑푥+∫∫푆푅푑푥푑푦=퐼 1 +퐼 2 +퐼 3
Sia che la superficie S è data con l’equazione z = z (x,y) , allora la formula del calcolo per la
proiezione sul piano xy sarà:
퐼 3 =∫∫푆푅(푥,푦,푧)푑푥푑푦=∫∫푆푋푌푅(푥,푦,푧(푥,푦))푑푥푑푦
Nel modo analogo si ottengono l’altre formule per calcolo degli integrali di superficie di secondo
tipo nelle proiezioni sugli altri piani coordinativi:
퐼 1 =∫∫푆푃(푥,푦,푧)푑푦푑푧=∫∫푆푌푍푃(푥(푦,푧),푦,푧)푑푦푑푧
퐼 2 =∫∫푆푄(푥,푦,푧)푑푧푑푥=∫∫푆푍푋푄(푥,푦(푧,푥),푧)푑푧푑푥
Esercizio 1.
Calcolare l’integrale di superficie di secondo tipo :
I = ∫∫푆푥푑푦푑푧+푑푥푑푧+푥푧^2 푑푥푑푦
Dove S è la faccia esterna della superficie sferica che si trova nel primo ottante, cioè :
푆={(푥,푦,푧)∈푅^3 ;푥^2 +푦^2 +푧^2 =푟^2 ,푐표푛 푥> 0 ,푦> 0 ,푧> 0 }
Siano SYZ, SXZ, SXY le proiezioni della superficie S nei piano coordinativi. Calcoliamo i tre integrali:
퐼 1 =∫∫푥푑푦푑=∫∫ √푟^2 −푦^2 −푧^2 푑푦 푑푧=∫ 푑휗 ∫ √푟^2 −휌^2 휌 푑휌=
휋
2
⋅[−
(푟^2 −휌^2 )
3
2
3]
푟0휋
2
푆 푆푌푍 0
0푟