퐼 2 =∫∫푆푑푥푑푧=∫∫푆푍푌푑푥 푑푧=휋 4 푟^2 ,
questo integrale ci da l’area della zona SZX , cioè un quarto dell’area del cerchio.
퐼 3 =∫∫푆푥푧^2 푑푥푑푦=∫∫푆푋푌푥(푟^2 −푥^2 −푦^2 )푑푥푑푦=∫ 푐표푠휃푑휃∫ 0 푟휌(푟^2 −휌^2 )휌푑휌=
휋
2
02
15 푟(^5) ,
quindi 퐼=퐼 1 +퐼 2 +퐼 3 =
휋
6 푟
(^3) +휋
4 푟
(^2) +^2
15 푟
5
3. Legame tra gli integrali di superficie di primo e secondo tipo.
Sia ds un pezzo infinitesimo della superficie S. Sia 푁⃗⃗^ il vettore che ha il verso positivo della
superficie.
allora si hanno le formule :
푑푥푑푦 =푑푠⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푧)
푑푦푑푧=푑푠⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푥)
푑푧푑푥=푑푠⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푦)
quindi otteniamo la formula che collega dell’integrali di superficie di secondo e del primo tipo.
∫∫푆푃푑푦푑푧+푄푑푧푑푥+푅푑푥푑푦=∫∫푆[푃⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푥)+푄⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푦)+푅⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푧)]⋅푑푆 (1)
Esercizio 1.
Calcolare l’integrale di superficie di secondo tipo:
퐼=∫∫푆푥푑푦푑푧+푦푑푧푑푥+푧푑푥푑푦, dove S è la faccia esterna della superficie sferica
x^2 + y^2 + z^2 = r^2.
Soluzione.
Passiamo in un integrale di superficie di primo tipo con aiuto della formula (1)
I =∫∫푆푥푑푦푑푧+푦푑푧푑푥+푧푑푥푑푦=∫∫푆[푥⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푥)+푦⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푦)+푧⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푧)]⋅푑푆
Un vettore perpendicolare in un punto qualsiasi sulla superficie sferica è 푁⃗⃗^ =( 2 푥, 2 푦, 2 푧)
Il suo modulo è N = 2 r , quindi abbiamo:
푐표푠(푁⃗⃗^ ,푥)= 22 푥푟 , 푐표푠(푁⃗⃗^ ,푦)=^22 푦푟 , 푐표푠(푁⃗⃗^ ,푧)=^22 푧푟
mentre
퐼=∫∫[푥⋅
푥
푟
+푦⋅
푦
푟
+푧⋅
푧
푟
]⋅푑푆
푆=∫∫
푥^2 +푦^2 +푧^2
푠 푟
푑푠=∫∫
푟^2
푆푟
푑푠=푟 ∫∫푑푠
푆