4. Legame tra integrale di superficie e l’integrale di linea. Formula di Stokes.
Sia S una superficie con due facce chiusa e liscia nello spazio. Sia L la linea di frontiera. Scelgo il
verso positivo della perpendicolare N sulla S, cioè un osservatore posto in questo verso, vede la
frontiera L orientata nel senso antiorario.
Siano P = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) tre funzione di tre variabili definiti in una zona dello
spazio e che contiene dentro la superficie S. Siano queste funzioni derivabili e con i derivati
continui.
Si può dimostrare che in queste condizioni è vera la seguente formula di Stokes :
∫∫푆(푅푌 ′ −푄 ′ 푍)푑푦푑푧 +(푃푍 ′ −푅푋 ′ )푑푧푑푥+(푄푋 ′ −푃푌 ′ )푑푥푑푦=∮퐿푃푑푥+푄푑푦+푅푑푧 ( 1 )
L’integrale a sinistra è della superficie di secondo tipo calcolato secondo la faccia positiva della S.
L’integrale a destra è un integrale curvilineo di secondo tipo calcolato secondo la linea L, orientata
come sopra, cioè legata con l’orientamento della S.
Per dimostrare la formula (1), la dividiamo in tre integrali secondo le funzioni P, Q, R.
∫∫푆(푅푌 ′ −푄 ′ 푍)푑푦푑푧 +(푃푍 ′ −푅푋 ′ )푑푧푑푥+(푄푋 ′ −푃푌 ′ )푑푥푑푦=∫∫푆푃푍 ′ 푑푧푑푥−푃푌 ′ 푑푥푑푦+
+∫∫푄푋 ′ 푑푥푑푦−푄푍 ′
푆푑푦푑푧 +∫∫푅푌 ′
푆푑푦푑푧 −푅푋 ′ 푑푧푑푥=퐼 1 +퐼 2 +퐼 3
Calcoliamo il primo integrale, cioè.
퐼 1 =∫∫푃푍 ′ 푑푧푑푥−푃푌 ′ 푑푥푑푦
푆=∫∫[푃푍 ′ 푐표푠(푁⃗⃗^ ,푦)−푃푌 ′ 푐표푠(푁⃗⃗^ ,푧)]
푆푑푠
Sia data la superficie S con l’equazione esplicita z = z (x, y). Allora il vettore della perpendicolare
con il verso sopra sarà 푁⃗⃗^ =(−푍푋 ′ ,−푍푌 ′ , 1 ), quindi i coseni direttori saranno:
퐶표푠(푁⃗⃗^ ,푋)= −푍푋
′
√ 1 +(푍푋 ′ )^2 +(푍푌 ′ )^2퐶표푠(푁⃗⃗^ ,푌)= −푍푌
′
√ 1 +(푍푋 ′ )^2 +(푍푌 ′ )^2L SNXYZ