퐶표푠(푁⃗⃗^ ,푍)=^1
√ 1 +(푍푋′)^2 +(푍푌′)^2, mentre il rapporto 퐶표푠(푁⃗⃗ (^) ,푌)
퐶표푠(푁⃗⃗^ ,푍)=−^ 푍푌
′
Trasformiamo adesso l’integrale I 1 in un integrale doppio sulla Sxy, che è la proiezione della S nel
piano XY.
퐼 1 =∫∫[푃푍 ′ ⋅
푐표푠(푁⃗⃗^ ,푌)
푆 푐표푠(푁⃗⃗^ ,푍)
−푃푌 ′ ]⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푍)⋅푑푆= −∫∫ [
푆푋푌푃푍 ′ ⋅푍푌 ′ + 푃푌 ′ ] 푑푥푑푦
Dalla formula della derivata parziale della funzione composta P = P (x, y, Z (x, y)), si ha
휕
휕푦푃[푥,푦,푍(푥,푦)]=
휕푃
휕푦
+
휕푃
휕푧
⋅
휕푍
휕푦
quindi si ottiene:
퐼 1 =−∫∫
휕푃
푆푋푌휕푦
푑푥푑푦
Applicando in questo integrale la formula di Green, si ha:
퐼 1 =∮ 푃(푥,푦,푍(푥,푦)) 푑푥
퐿푋푌siccome LXY è la proiezione della linea L nel piano XY, allora si ha
퐼 1 =∮푃(푥,푦,푧)푑푥
퐿
Ovvero
∫∫푃푍 ′ 푑푧푑푥−푃푌 ′ 푑푥푑푦
푆=∮푃 푑푥
퐿Nel modo analogo si possono calcolare l’integrale, I 2 , I 3. Facendo loro somma si ottiene la formula
di Stock (1), la quale può essere scritta anche con l’integrale di primo tipo di superficie:
∫∫[(푅푌 ′ −푄푍 ′ )
푆⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푋) +(푃푍 ′ −푅푋 ′ )⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푌)+(푄푋 ′ −푃푌 ′ )⋅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푍)] 푑푠=
=∮푃푑푥+푄푑푦+푅푑푧
퐿(^)