VII. Integrali di superfice

5. Funzione primitiva nello spazio.

Siano P = P (x, y, z), Q = Q (x, y, z), R = R (x, y, z) tre funzione definite, con le derivate prime parziali
continue nel solido T chiuso dalla superficie liscia S.

Teorema 1 :
Le proposizioni seguenti sono equivalenti :

1) L’integrale curvilineo di secondo tipo

∫ 푃푑푥+푄푑푦+푅푑푧

퐴퐵

non dipende dalla forma del percorso che si fa dal punto A al punto B

2) L’integrale curvilineo di secondo tipo secondo ogni linea chiusa che si trova in corpo T è

uguale a zero:

∮푃푑푥+푄푑푦+푅푑푧= 0

퐿

3) In ogni punto del corpo T, abbiamo:

푃푌 ′ =푄푋 ′ , 푅푋 ′ =푃푍 ′ , 푄푍 ′ =푅푌 ′

Dimostrazione segue dalla teorema di Stokes.

Si sa che differenziale dF di una funzione F = F (x, y, z) è l’espressione:

푑퐹=

휕퐹

휕푥

⋅푑푥+

휕퐹

휕푦

⋅푑푦+

휕퐹

휕푧

⋅푑푧

Dividendo i due membri con dt, si ha la derivata della funzione composta F(t) = F (x(t), y(t), z(t)) :

푑퐹

푑푡

=

휕퐹

휕푥

⋅

푑푥

푑푡

+

휕퐹

휕푦

⋅

푑푦

푑푡

+

휕퐹

휕푧

⋅

푑푧

푑푡

Forma differenziale si dice ogni espressione del tipo P dx + Q dy + R dz.

Definizione 1**. Forma differenziale 푷 풅풙+푸 풅풚+푹 풅풛 si dice forma differenziale esatta**
nel corpo T se

푃푌 ′ =푄푋 ′ , 푅푋 ′ =푃푍 ′ , 푄푍 ′ =푅푌 ′ 푝푒푟 ∀(푥,푦,푧)∈푇