Problema 3. Trovare i momenti statici della piastra materiale S con la densità di superficie μ(x,y,z)
rispetto ai piani xy, xz, yz.
Soluzione:
Sia dm = μ(x,y,z) dS , la massa elementare del pezzo dS. Il momento statico dSxy di questa massa
elementare rispetto al piano xy è il suo prodotto con la z:
dSxy = z dm cioè dSxy = z. μ(x,y,z) dS.
Il momento statico della piastra S rispetto al piano xy, è la somma di tutti questi momenti statici
elementari, cioè l’integrale di superficie di primo specie:
푆푥푦= (^) ∫∫푆푧 휇(푥,푦,푧) 푑푆
Ugualmente si trovano i momenti statici della piastra rispetto ai piani xz e yz con gli integrali:
푆푥푧= (^) ∫∫푆푦 휇(푥,푦,푧) 푑푆 푆푦푧= (^) ∫∫푆푥 휇(푥,푦,푧) 푑푆
Problema 4. Trovare il centro della gravità ( il centro delle masse ) di una piastra con la densità di
superficie μ(x,y,z).
Soluzione:
Il centro G( XG, YG, ZG) delle masse si definisce come un punto materiale dove è concentrata tutta la
massa della piastra e ha con i piano coordinativi gli stessi momenti statici come la piastra stessa.
Perciò si ottiene:
XG. m = Syz
YG. m = Sxz
ZG. m = Sxy
dS
S
x
y
z
z
x
y