Esercizio 1.
Dimostrare che l’espressione 푥 푑푥+(푦+푧) 푑푦+(푦+ 2 푧) 푑푧 è una forma differenziale esatta
per ogni punto (x,y,z) dello spazio.
Soluzione
푃푌 ′ = 0 =푄푋 ′ , 푅푋 ′ = 0 =푃푍 ′ , 푄푍 ′ = 1 =푅푌 ′ 푝푒푟 ∀(푥,푦,푧)quindi è una forma differenziale esatta.
Esercizio 2.
Controllare se l’espressione x 푑푥+ 3 푥푦 푑푦−푧 푑푧 è una forma differenziale esatta.
Soluzione:
푃푌 ′ = 0 ≠푄푋 ′ = 3 푦
quindi non è una forma esatta.
Teorema 2.
Siano P(x, y, z), Q(x, y, z) , R(x, y, z) tre funzioni che hanno derivate parziali continue nel corpo T.
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) La forma differenziale P dx + Q dy + R dz è esatta in ogni punto del corpo T.2 ) Esiste una funzione U, che si dice primitiva , tale che il suo differenziale dU è uguale
con questa forma esatta:dU = P dx + Q dy + R dz. ∀(푥,푦,푧)∈푇Dai teoremi 1, 2 segue:Teorema 3.
Se U = U(x, y, z) è una funzione primitiva della forma esatta 푷풅풙+푸풅풚+푹풅풛 , allora
l’integrale curvilineo non dipende dal percorso e si può calcolare dalla formula:∫ 푃푑푥+푄푑푦+푅푑푧= 푈(푥,푦,푧) − 푈(푥 0 ,푦 0 .푧 0 )
(푋,푌,푍)
(푋 0 ,푌 0 ,푍 0 )^Poniamo come costante 퐶=푈(푥 0 ,푦 0 ,푧 0 ) il valore della primitiva in punto iniziale
E 0 (푥 0 ,푦 0 ,푧 0 ) allora si ottiene la formula seguente espressione della primitiva:푈(푥,푦,푧) =∫ 푃푑푥+푄푑푦+푅푑푧 + 퐶
(푋,푌,푍)
(푋 0 ,푌 0 ,푍 0 )Il calcolo della funzione primitiva con questa formula chiede le conoscenze sull’integrazione
delle funzioni di più variabili. Noi troviamo una formula più semplice.