VII. Integrali di superfice

Sia E 0 (푥 0 ,푦 0 ,푧 0 ) un punto qualsiasi iniziale, mentre E (x, y, z) il punto generico.

Siccome l’integrale si può calcolare secondo un percorso qualsiasi.

Scelgo il percorso secondo la spezzata E 0 , E 1 , E 2 , E.
La retta E 0 E 1 , è data come intersezione di due piani, cioè come sistema:

{

푥=푥 0

푦=푦 0 con^ z^0 ≤ z ≤ z^ quindi {

푑푥= 0

푑푦= 0

allora si ha :

∫ 푃푑푥+푄푑푦+푅푑푧=∫ 푅(푥 0 ,푦 0 ,푧) 푑푧

푧

퐸 0 퐸 1 푧 0

Il segmento di retta E 1 E 2 , è data come intersezione di due piani, cioè come sistema:

{푥푧==푧푥^0 con z constante e con y 0 ≤ y ≤ y si ha {푑푥푑푧== 00

allora si ha :

∫ 푃푑푥+푄푑푦+푅푑푧=∫ 푄(푥 0 ,푦,푧) 푑푦

푦

퐸 1 퐸 2 푦 0

Il segmento di retta E 2 E, è data come intersezione di due piani, cioè come sistema:

{푦=푦

푧=푧

con z, y costante e con x 0 ≤ x ≤ x quindi {푑푦=^0

푑푧= 0

allora si ha :

∫ 푃푑푥+푄푑푦+푅푑푧=∫푃(푥 ,푦,푧) 푑푥

푥

퐸 2 퐸 푥 0

In conclusione si ottiene la seguente formula più semplice per trovare la funzione primitiva:

푈(푥,푦,푧)=∫푥푥 0 푃(푥,푦,푧)푑푥+∫푦푦 0 푄(푥 0 ,푦,푧)푑푦+∫푧푧 0 푅(푥 0 ,푦 0 ,푧)푑푧 + 퐶 ( 1 )

x 0

x

y 0 y

z 0

z

°

°

E 1 (x 0 ,y 0 ,z) E 2 (x 0 ,y,z)

E 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 )

E(x,y,z)