VII. Integrali di superfice

Esercizio.
Trovare, se esiste, la funzione primitiva dell’espressione:

( 2 푥푦푧+푙푛푦)푑푥+(푥^2 푧+

푥

푦)푑푦+(푥

(^2) 푦− 2 푧)푑푧

Soluzione: 푃= 2 푥푦푧+푙푛푦, Q=푥^2 푧+

푥

푦, R=푥

(^2) 푦− 2 푧

Siccome si ha :

푃푦′=2xz+

1

푦

=Q′x , Pz′=2xy=R′x , Qz′ =x^2 =Ry′

allora l’espressione è il differenziale di una funzione F che possiamo trovare con la formula (1).
Come punto (푥 0 ,푦 0 ,푧 0 ) non posso prender (0, 0, 0) perché in questo punto non sono definiti le
funzioni P e Q, per cui prendo (0,1,0) e otteniamo:

퐹(푥,푦,푧)=∫( 2 푥푦푧+푙푛푦)

푥

0

푑푥+∫ 0 푑푦+∫(− 2 푧) 푑푧

푧

0

푦

1

Ovvero

푈(푥,푦,푧)=푥^2 푦푧+푥푙푛푦−푧^2 + 푐

Nota. Nella fisica, funzione potenziale si dice V(x, y, z) = − U(x, y, z). Il lavoro è uguale alla
differenza del valore del potenziale nel punto iniziale meno il valore del potenziale nel punto
finale.
Quindi il lavoro W = V(A) - V(B) oppure W = U(B) - U(A).

Esercizio.
Calcolare l’integrale L = ∫푂푃( 2 푥+푦)푑푥+푥푑푦− 2 푧푑푧 :

1) secondo la spezzata OABP , dove O = (0,0,0 ), A = (1,0,0), B = ( 1 ,1,0), P = (1,1,1).

2) secondo il segmento rettilineo OP.

3) usando la funzione primitiva se esiste.

Soluzione.

1. Siccome la linea OABP non è liscia, perché nei punti angolosi A, B non esiste la retta
   tangente, il calcolo dell’integrale si fa a tratti. Quindi