VII. Integrali di superfice

Sia il solido T regolare nella direzione OZ, limitata dalla superficie S = S 1 + S 2 + S 3.
Siano z = S 1 (x, y), z = S 3 (x, y) l’equazioni rispettivi delle superfici sotto e sopra.

Calcoliamo l’integrale triplo proiettando sul piano xy.

∫∫∫푅푍 ′ (푥,푦,푧)푑푥푑푦 푑푧=∫∫ 푑푥푑푦 ∫ 푅푍 ′ 푑푧

푆 3 (푥,푦)

퐴 푆푋푌 푆 1 (푥,푦)^ =^

=∫∫푆푋푌푅(푥,푦,푆 3 (푥,푦))푑푥푑푦−∫∫푆푋푌푅(푥,푦,푆 1 (푥,푦))푑푥푑푦=

=∫∫푅(푥,푦,푧)푑푥푑푦 +

푆 3

∫∫푅(푥,푦,푧)푑푥푑푦

푆 1

Il primo integrale e calcolato secondo la faccia sopra S 3 , mentre il secondo integrale di superficie è
calcolato secondo la faccia sotto la superficie S 1.
E facile provare che sulla superficie cilindrica S 2 abbiamo:

∫∫푆 2 푅(푥,푦,푧)푑푥푑푦= 0 , perché la proiezione della S 2 in piano xy è una linea.

Quindi in totale abbiamo :

∫∫∫푅푍 ′ (푥,푦,푧)푑푥푑푦 푑푧=∫∫ 푅푑푥푑푦+∫∫ 푅푑푥푑푦+∫∫푅푑푥푑푦

푇 푆 1 푆 2 푆 (^3)
oppure:

∫∫∫푅푍 ′ (푥,푦,푧)푑푥푑푦푑푧=∮∮푅(푥,푦,푧)

푇 푆

푑푥푑푦

X SXY

Z

Y

S 1

S 2

T (^) S 3