L’integrale di superficie a destra si calcola secondo la faccia esterna della superficie chiusa S, che è
la frontiera del solido T.
Si dimostra che l’ultima uguaglianza è vera anche per le zone che non sono regolari nella direzione
OZ, ma si dividono in tali zone.
Nel modo analogo si calcolano e si dimostrano anche le uguaglianze:
∫∫∫푃푥 ′ (푥,푦,푧)푑푥푑푦 푑푧=∮∮푃(푥,푦,푧)
푇 푆푑푦푑푧
∫∫∫푄푦 ′ (푥,푦,푧)푑푥푑푦 푑푧=∮∮푄(푥,푦,푧)
푇 푆푑푥푑푧
Sommando questi integrali si dimostra la formula (1).
La formula di Gauss - Ostrogradskij si può scrivere anche con l’integrale di superficie di primo tipo:
∫∫∫ (푃푥 ′ +푄푦 ′ +푅푧 ′
푇) 푑푥푑푦푑푧
= ∮∮ [푃푐표푠(푁⃗⃗^ ,푥)+푄푐표푠(푁⃗⃗^ ,푦)+푅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푧)]푑푆
푆Teorema.
Sono equivalenti le seguenti affermazioni:
- 푃푥 ′ +푄푦 ′ +푅푧 ′ = 0 푝푒푟 ∀(푥,푦,푧)∈푇
2) ∮∮푆[푃푐표푠(푁⃗⃗^ ,푥)+푄푐표푠(푁⃗⃗^ ,푦)+푅푐표푠(푁⃗⃗^ ,푧)]푑푆 = 0;
3) ∮∮푆푃푑푦푑푧 + 푄 푑푧푑푥+ 푅 푑푥푑푦 = 0.
Dimostrazione: segue dalla formula Gauss - Ostrogradskij e dalla formula del legame tra gli
integrali di superficie di primo e di secondo tipo..
Esercizio.
Sia 푆={ (푥,푦,푧)∈푅^3 :푥^2 +푦^2 ≤ 1 , 0 ≤푧≤ 1 } 푒 푠푖푎 퐹∈퐶^1 (푇),
calcolare
퐼=∫∫∫퐹푦 ′ (푥,푦,푧)
푇푑푥푑푦푑푧.
Soluzione:
Pongo S la superficie che chiude il corpo T.