Quindi
푋퐺=푚^1 ⋅ (^) ∫∫푆푥⋅휇(푥,푦,푧) 푑푆 푌퐺=푚^1 ⋅ (^) ∫∫푆푦⋅휇(푥,푦,푧) 푑푆 푍퐺=푚^1 ⋅ (^) ∫∫푆푧⋅휇(푥,푦,푧) 푑푆
dove 푚=⋅ ∫∫푆휇(푥,푦,푧) 푑푆
Nel caso in cui la piastra è omogenea, cioè con la densità di superficie costante μ(x,y,z) = μ, allora
portando fuori dall’integrale la μ e semplificando, le formule per trovare il centro delle masse
saranno
푋퐺=
∫∫푆푥 푑푆
∫∫푆푑푆^ 푌퐺=∫∫푆푦 푑푆
∫∫푆푑푆.^ 푍퐺=∫∫푆푧 푑푆
∫∫푆푑푆.^Problema 5. Trovare i momenti d’inerzia di una piastra con la densità di superficie μ(x,y,z)
rispetto ai piani xy, xz, e yz.
Soluzione:
Sia dm = μ(x,y,z) dS , la massa elementare del pezzo dS. Il momento d’inerzia dIxy di questa massa
elementare rispetto al piano xy è il suo prodotto per il quadrato della distanza dal piano:
dIxy = z^2 dm cioè dIxy = z^2. μ(x,y,z) dS.
Il momento d’inerzia della piastra S rispetto al piano xy, è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale di superficie di primo specie:
퐼푥푦=∫∫푆푧^2 ⋅휇(푥,푦,푧) 푑푆
Ugualmente si trova il momento d’inerzia della piastra rispetto ai piani xz, e yz.:
퐼푥푧=∫∫푆푦^2 ⋅휇(푥,푦,푧) 푑푆 퐼푦푧=∫∫푆푥^2 ⋅휇(푥,푦,푧) 푑푆
Problema 6. Trovare il momento d’inerzia di una piastra S con la densità di superficie μ(x,y,z)
rispetto all’origine delle coordinate.
Soluzione:
Sia dm = μ(x,y,z) dS , la massa elementare del pezzo dS dove si trova il punto (x,y,z). Il momento
d’inerzia dIo di questa massa elementare rispetto all’origine è il suo prodotto per il quadrato della
distanza da questo punto:
dIo = (x^2 + y^2 + z^2 ) dm ovvero dIo = (x^2 + y^2 + z^2 ) μ(x,y,z) dS
Il momento d’inerzia Io della piastra rispetto all’origine, è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale di superficie di primo specie
퐼표=∫∫푆(푥^2 +푦^2 +푧^2 ) 휇(푥,푦,푧) 푑푆
Teorema:
Il momento di inerzia di una piastra materiale piana rispetto ad un punto è uguale alla somma dei
momenti d’inerzia di questa curva rispetto ai tre piani due a due perpendicolari che passano per
questo punto.