Infatti: Basta scomporre l’ultimo integrale in tre integrali e si ottiene:
Io = Ixy + Ixz + Iyz.
Calcolo dell’integrale di superficie del I-o tipo.
Riportiamo integrale di superficie del primo tipo in un integrale doppio.
Sia data la superficie S e la funzione f(x,y,z) definita su questa superficie. Vogliamo calcolare
l’integrale di superficie di primo tipo di questa funzione su questa superficie:
∫∫푓(푥,푦,푧) 푑푆
푆1 ° Caso La superficie S è data nella forma parametrica :Sia S una superficie nello spazio. Pongo che su questa superficie è stato definito un sistema di
coordinate curvilinee (u, v). In questo caso si dice che la superficie S è stata parametrizzata con i
parametri ( u, v ).
Le equazioni parametriche della superficie S(u,v) sono:
푆∶ {
푥=푥(푢,푣)
푦=푦(푢,푣)
푧=푧(푢,푣)
푐표푛 푎≤푢≤푏 , 푐≤푣≤푑
Sia P (u, v) un punto su questa superficie. Le linee coordinative del sistema uv dividono la
superficie S in piccolissimi quadrilateri. Sia dS un quadrilatero infinitesimo che si forma dalle
u, u+du, v, v+dv.
Area ds > 0 di questo quadrilatero di superficie è quasi uguale all’area del quadrilatero nel piano
tangente formato dal punto P (u,v) e dai vettori 푑푆⃗⃗⃗⃗^ 푢 , ⃗푑푆⃗⃗⃗⃗^ 푣. Questi vettori sono vettori delle rette
tangenti rispettivamente sulle linee lisce coordinative u , v. Essi si trovano nel piano tangente sulla
superficie S nel punto P.
I moduli di questi vettori si trovano con aiuto dei derivati parziali:
|푑푆⃗⃗⃗⃗^ 푢 |=|
휕푆
휕푢
∙ 푑푢| 푚푒푛푡푟푒 |푑푆⃗⃗⃗⃗^ 푣 |=|
휕푆
휕푣
∙ 푑푣|
x y^z