Calcolo l’area:
푑푠=|푑푆⃗⃗⃗⃗^ 푢 |∙|푑푆⃗⃗⃗⃗^ 푣 |∙푠푖푛훼=|휕푢휕푆∙ 푑푢|∙|휕푣휕푆∙ 푑푣|∙sin훼=(|푆푢′ |∙|푆푣′|∙sin훼) 푑푢 푑푣 (*)Poniamo che il prodotto du dv > 0 , quindi u e v sono oppure tutte e due crescenti oppure tutte e
due decrescenti.
Il vettore prodotto vettoriale
푁⃗⃗^ =푆⃗⃗⃗푢⃗′^ × 푆⃗⃗⃗푣′^
delle due vettori derivati parziali ⃗푆⃗⃗⃗푢^ ′=( 푥푢′; 푦푢′; 푧푢′) 푒 푆⃗⃗⃗⃗푣′⃗^ =(푥푣′;푦푣′; 푧푣′) della S , è
perpendicolare al piano tangente.
Dalla (*) si ha:
푑푠=| 푁⃗⃗^ | 푑푢 푑푣
Definizione :
Elemento infinitesimo d’area dS della superficie S è detto :
dS=|N⃗⃗^ | du dv
Dalla definizione ds > 0
Quindi l’integrale di superficie di primo tipo in questo caso si calcola con la formula:
∫∫푓(푥,푦,푧) 푑푆=∫∫ 푓(푥(푢,푣),푦(푢,푣),푧(푢,푣))
퐷푢푣|푁
→
|
푆푑푢푑푣 ( 1 )
Il valore del integrale non dipende dalla parametrizzazione della superficie.
Si sa che le coordinate del prodotto vettoriale:
푁⃗⃗^ =푆⃗⃗⃗⃗푢′^ ×푆⃗⃗⃗푣′^
si trovano con le formule :
푁⃗⃗^ =(|^ 푦푢
′ 푧푢′
푦푣′ 푧푣′
|,|푧푢
′ 푥푢′
푧푣′ 푥푣′
|,|푥푢
′ 푦푢′
푥푣′ 푦푣′
|)
mentre il modulo
|푁⃗⃗^ |=√|
푦푢′ 푧푢′
푦푣′ 푧푣′|
2
+|푧푢′ 푥푢′
푧푣′ 푥푣′|
2
+ |푥푢′ 푦푢′
푥푣′ 푦푣′|
2La formula (1) del calcolo di un integrale di superficie di primo tipo si può scrivere anche
diversamente.
Dalla definizione del modulo del prodotto vettoriale si ha: