|푁⃗⃗^ |
2
=|푆⃗⃗⃗푢⃗′^ ×푆⃗⃗⃗푣′^ |2
=(|푆⃗⃗⃗푢⃗′^ |∙ |푆⃗⃗⃗⃗푣′^ |∙푠푖푛 훼)^2 =|푆⃗⃗⃗⃗푢′^ |2
|푆⃗⃗⃗푣′^ |2
( 1 −푐표푠^2 ∝)=|푆⃗⃗⃗⃗푢′^ |2
|푆⃗⃗⃗푣′^ |2
−(푆⃗⃗⃗⃗푢′^ ∙푆⃗⃗⃗푣′^ )2ponendo 퐸= |푆⃗⃗⃗⃗푢′^ |
2
, 퐺= |푆⃗⃗⃗푣′^ |2
, 퐹=(⃗푆⃗⃗⃗푢′^ ∙푆⃗⃗⃗푣′^ )si ottiene la formula (1) del calcolo nella forma :
∫∫푓(푥,푦,푧) 푑푆=∫∫ 푓(푥(푢,푣),푦(푢,푣),푧(푢,푣))
퐷푢푣√퐸퐺− 퐹^2
푆푑푢푑푣 ( 1 ′ )
Esercizio. 1
Calcolare l’integrale di superficie del primo tipo :
퐼=∫∫
푥^2 +푦^2
푧^2
푑푆
푆dové 푆 è 푑푎푡푎 푐표푛 푙′푒푞푢푎푧푖표푛푖 푝푎푟푎푚푒푡푟푖푐ℎ푒∶
S: {
푥=푠푖푛(푢푣)
푦=푐표푠(푢푣)
푧=푢
푐표푛 (푢,푣)∈퐷
dové 퐷={(푢,푣)∈푅^2 : 푢≤ (^2) ⋀ 1 ≤푣≤푢} è la zona limitata dal triangolo nella figura
Soluzione:
Usiamo la formula (1).
푆⃗⃗⃗⃗푢′^ ∶ {
푥푢′ =푣 푠푖푛(푢푣)
푦푢′=−푣 푐표푠(푢푣)
푧푢′ = 1
⃗푆⃗⃗푣′^ ∶ {
푥푣′=푢 푐표푠(푢푣)
푦푣′=−푢 푠푖푛(푢푣)
푧푣′= 0
퐸= |푆⃗⃗⃗⃗푢′^ |
2
=푣^2 + 1 , 퐺= |푆⃗⃗⃗푣′^ |2
=푢^2 , 퐹=(푆⃗⃗⃗⃗푢′^ ∙푆⃗⃗⃗푣′^ )=푢푣vu