퐼=∫∫
푥^2 +푦^2
푧^2
푑푆
푆=∫∫
1
푢^2
√(푣^2 + 1 )푢^2 −(푢푣)^2 푑푢푑푣
퐷=∫∫
1
푢
푑푢푑푣
퐷I=∫ 12 du∫ 1 u^1 udv=∫ (^12) u^1 du∫ 1 udv=∫ 12 u−u^1 du=∫ 12 ( 1 −u^1 )du= 1 −ln
2 ° Caso. La superficie S è data con l’equazione esplicita z = z(x, y) e sia Dxy la sua proiezione
nel piano xy.
In questo caso la S è regolare rispetto all’asse z.
Pongo come se fosse S nella forma parametrica con i parametri x,y:
S: {
푥=푥
푦=푦
푧=푧(푥,푦)
푐표푛 (푥,푦)∈퐷푥푦
Il vettore perpendicolare sulla dS nel punto (x, y, z) di questa superficie in questo caso sarebbe:
푁⃗⃗^ =(|
0 푧푥′
1 푧푦′|,|
푧푥′ 1
푧푦′ 0 |,|
1 0
0 1
|) quindi 푁⃗⃗^ =(−푧푥′; −푧푦′; 1 ).quindi elemento d’area dS della superficie S, in questo caso sarebbe:
푑푠=√ (푧푥 ′ )^2 +(푧푦 ′ )^2 + 1 푑푥 푑푦
Oppure
푑푠=|푁⃗⃗^ | 푑푥 푑푦Ddy dxxyzdS SN