VII. Integrali di superfice

mentre l’integrale di superficie di primo tipo si calcola con l’aiuto dell’integrale doppio con la
formula:

∫∫푆푓(푥,푦,푧) 푑푆= ∫∫퐷xy푓(x,y,z(x,y)) √ (푧푥 ′ )^2 +(푧푦 ′ )^2 + 1 dx dy ( 2 )

oppure

∫∫푆푓(푥,푦,푧)^ 푑푆=^ ∫∫퐷xy푓(x,y,z(x,y))^ |푁⃗⃗^ |^ 푑푥^ 푑푦^ (2’)^

Nota. Siccome in questo caso il vettore 푁⃗⃗^ =(−푧푥′; −푧푦′; 1 ) ha la terza coordinata positiva vuol
dire che questo vettore forma con l’asse z un angolo acuto per cui spesso si dice anche che il

vettore 푁⃗⃗^ è posizionato nell’ordine crescente dell’asse z.

Esercizio 2
Trovare l’area di quella parte del paraboloide z = x^2 + y^2 sta sopra al cerchio

퐷푥푦∶ 푥^2 +푦^2 ≤푟^2

Soluzione.

Area della superficie data si calcola con la formula

푨풓풆풂(푺)=∫∫풅푺

푺
Nel nostro caso si ha che 푧푥′= 2 푥 푒 푧푦′= 2 푦 e dalla formula (2) si ottiene:

퐴푟푒푎(푆)= ∫∫ √ ( 2 푥)^2 +( 2 푦)^2 + 1 dx dy

퐷xy

x

r

r y^

z

O