VII. Integrali di superfice

Calcoliamo questo integrale doppio passando nelle coordinate polari:

{

푥=휌 푐표푠휃

푦=휌 푠푖푛휃^ con^0 ≤휃≤^2 휋^ 푒^0 ≤휌≤푟^

퐴푟푒푎 (푆)= ∫ 푑휃 ∫√ 4 휌^2 + 1

푟

0

2 휋

0

∙휌 푑휌= 2 휋 ∙

1

8

∫( 4 휌^2 + 1 )

1

(^2) ∙푑( 4 휌^2 + 1 )=
푟
0

=

휋

6

[( 4 푟^2 + 1 )

3

(^2) − 1 ]
Esercizio 3
Calcolare la massa della piastra conica di equazione x^2 + y^2 – z^2 = 0 con la densità di superficie
μ(x,y,z) = (x^2 + y^2 ) z , che si trova dentro al cilindro di equazione x^2 + y^2 = a^2 e sopra al piano xy.
Soluzione.
Dal problema n. 2 si ottiene che la massa di questa piastra è uguale :
푚=∫∫푆(푥^2 +푦^2 )푧 푑푆
Con S è indicato la superficie conica 푧=√푥^2 +푦^2 che si trova dentro il cilindro 푥^2 +푦^2 =
푎^2 , che si proietta nel piano xy nella zona D che è infatti il cerchio 푥^2 +푦^2 ≤푎^2.
Calcoliamo prima le derivate parziali:
푧푥′=√푥 2 푥+푦 2 푧푦 ′ =√푥 2 푦+푦 2
Applicando la formula ( 1 ) si ottiene :

푚=∫∫(푥^2 +푦^2 ) √푥^2 +푦^2 √ 1 + 푥

2

푥^2 +푦^2 +^

푦^2

퐷 푥^2 +푦^2 푑푥^ 푑푦^ =√^2 ∫∫(푥

(^2) +푦 (^2) )^32 푑푥 푑푦
퐷^
Passando nelle coordinate polari si ha:
푚=√ (^2) ∫ 02 휋푑휃 (^) ∫ 0 푎휌^3 휌 푑휌=^2 휋^ 푎
(^5) √ 2
5
Nota. Nel caso in sui la superficie S è data dall’equazione y = y(x,z), vuol dire che è regolare rispetto
all’asse y. In questo caso proiettando sul piano XZ si ottiene la formula:

∫∫푓(푥,푦,푧) 푑푆

푆

= ∫∫ 푓(x,y(x,z),z) √ (푦푥 ′ )^2 + 1 +(푦푧 ′ )^2 dx dz

퐷xz

x

y

z

0

x^2 +y^2 = a^2

S