In pratica, si scomporre il denominatore Q(x) nei fattori di primo e di secondo grado,
questi ultimi non hanno radici reali. Si scomporre poi la frazione negli frazioni più
semplici con coefficienti sconosciuti. Questi coefficienti si trovano con aiuto di un
sistema che si ricava uguagliando i nominatori.Esempio: Calcolare l’integrale
㔅ᡶ +
ᡶ⡱−ᡶ⡰ ᡖᡶ^Soluzione: Scrivo la frazione come somma delle frazioni più sempliciᡶ +
ᡶ⡱−ᡶ⡰=ᡶ +
ᡶ⡰䙦ᡶ −1䙧=ᠧ
ᡶ+ᠨ
ᡶ⡰+ᠩ
ᡶ −1=ᠧᡶ 䙦ᡶ −1䙧+ᠨ䙦ᡶ −1䙧+ᠩᡶ⡰
ᡶ⡰䙦ᡶ −1䙧^Uguagliando i coefficienti davanti alle stesse potenze delle x nei due nominatori si
ottiene il sistema:䚈ᠧ +ᠩ = 0 ᡖᡓᡴᡓᡦᡲᡡ ᡓᡤᡤᡓ ᡨᡧᡲᡗᡦᡸᡓ ᡶ⡰
−ᠧ +ᠨ = 1 ᡖᡓᡴᡓᡦᡲᡡ ᡓᡤᡤᡓ ᡨᡧᡲᡗᡦᡸᡓ ᡶ
−ᠨ = 1 ᡖᡓᡴᡓᡦᡲᡡ ᡓᡤᡤᡓ ᡨᡧᡲᡗᡦᡸᡓ ᡶ⡨̄risolvendo si trovano ᠧ = −2 ,ᠨ = −1,ᠩ = 2 , l’integrale dato si può calcolare come
somma algebrica di tre integrali più semplici:ᔖけけ⡸⡩ㄙ⡹けㄘ ᡖᡶ = −2 ᔖけ⡩ ᡖᡶ −1ᔖけ⡩ㄘ ᡖᡶ +2ᔖけ⡹⡩⡩ ᡖᡶ^ = −2lnᡶ +⡩け+2ln 䙦ᡶ −1䙧+ᡕ^Esercizi. Calcolare gli integrali.
- (^) ᔖけけ⡸⡩ㄙ⡹けㄘ ᡖᡶ
- (^) ᔖけㄘ⡹⡳け⡸⡴け⡸⡩ ᡖᡶ
- (^) ᔖ け
ㄙ⡸け⡹⡰
䙦け⡸⡩䙧ㄘ䙦けㄘ⡸け⡸⡩䙧 ᡖᡶ sol.
⡲
⡱䙦け⡸⡩䙧+
⡩
⡰ln 䙦ᡶ
⡰−ᡶ +1䙧− ⡩
⡱√⡱ ᡓᡰᡲᡙ
⡰け⡹⡩
√⡱ +ᡕ^
8.2. Se il grado P(x) ≥ grado Q(x)
In questo caso si divide il polinomio P(x) con Q(x) e si ottiene
ᡂ䙦ᡶ䙧
ᡃ䙦ᡶ䙧= ℎ䙦ᡶ䙧+
ᡰ䙦ᡶ䙧
ᡃ䙦ᡶ䙧^
siccome il grado del polinomio resto r(x) è minore del grado di Q(x), il problema si riporta nel
primo caso 8.1.