Infatti: ᡱᡗ ᠲ⡩ ᡗ ᠲ⡰ ᡱᡧᡦᡧ ᡤᡗ ᡨᡰᡡᡥᡡᡲᡡᡴᡗ ᡖᡗᡤᡤᡗ ᡘᡳᡦᡸᡡᡧᡦᡡ ᡘ⡩ ᡗᡖ ᡘ⡰ ᡓᡤᡤᡧᡰᡓ ᡤᡓ ᡱᡧᡥᡥᡓ ᠲ⡩㎗
ᠲ⡰ è ᡳᡦᡓ ᡨᡰᡡᡥᡡᡲᡡᡴᡓ ᡖᡗᡤᡤᡓ ᡱᡧᡥᡥᡓ ᡘ⡩㎗ ᡘ⡰,
ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ ᡕᡓᡤᡕᡧᡤᡓᡦᡖᡧ ᡡᡤ ᡥᡗᡥᡔᡰᡧ ᡓ ᡖᡗᡱᡲᡰᡓ ᡱᡡ ᡓᡰᡰᡡᡴᡓ ᡓ ᡱᡡᡦᡡᡱᡲᡰᡓ.
9) Teorema della media integraleDefinizione: La media integrale di una funzione f nell’intervallo [a, b] è il numeroᔖ〨〩ᡘ䙦ᡶ䙧ᡖᡶ
ᡔ ㎘ᡓ^
Teorema:
ᔖ㉶㉷〳䙦け䙧〱け
〩⡹〨 㐄 ᡘ䙦ᡕ䙧 ᡕᡧᡦ ᡓ ≤ ᡕ ≤ ᡔ.oppure㔅 ↈ䙦∆䙧 ↆ∆ↄ
Ↄ㐄 ᡘ䙦ᡕ䙧 䙦ᡔ ㎘ᡓ䙧 ᡕᡧᡦ ᡓ ≤ ᡕ ≤ ᡔInfatti:
La primitiva F è una funzione continua in [a, b] e derivabile in (a, b) con la derivata f, quindi dalla
teorema di Lagrange si ha ᠲ䙦ᡔ䙧㎘ᠲ䙦ᡓ䙧㐄 ᡘ䙦ᡕ䙧䙦ᡔ ㎘ᡓ䙧 ᡕᡧᡦ ᡓ ≤ ᡕ ≤ ᡔ.
- Funzione integrale.
Sia f una funzione continua nell’intervallo [a, b]. Sia x un punto qualsiasi di questo intervallo.
Definizione: Funzione integrale ᠲ:[ᡓ,ᡔ] → ᡄ, è la funzione definita dalla formula :
ᠲ䙦ᡶ䙧= ᔖ〨けᡘ䙦ᡲ䙧 ᡖᡲ ᡨᡗᡰ ∀ᡶ ᡲᡓᡤᡡ ᡕℎᡗ ᡓ ≤ ᡶ ≤ ᡔ .
Proprietà della funzione integrale.
- Funzione integrale è una funzione continua in [a , b]
- La funzione integrale F è derivabile in (a, b) e la sua funzionederivata è f.
Infatti. Sia G una primitiva della funzione f in [a, b]
Si ha ᠲ䙦ᡶ䙧㐄 ᔖ〨けᡘ䙦ᡲ䙧 ᡖᡲ 㐄 ᠳ䙦ᡶ䙧㎘ᠳ䙦ᡓ䙧 ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ ᠲ䖓䙦ᡶ䙧㐄 ᠳ䖓䙦ᡶ䙧㐄 ᡘ䙦ᡶ䙧 ,
e si ottiene la formula per il calcolo della derivata della funzione integrale:
䚀㔅 ᡘ䙦ᡲ䙧ᡖᡲけ
〨䚁䖓
㐄 ᡘ䙦ᡶ䙧In generale, in caso in cui i due estremi dell’integrale sono funzioni della x , si ottiene la
formula:䚀㔅 ᡘ䙦ᡲ䙧ᡖᡲ〩䙦け䙧
〨䙦け䙧䚁䖓
㐄 ᡘ㐵ᡔ䙦ᡶ䙧㐹 ᡔ䖓䙦ᡶ䙧㎘ᡘ㐵ᡓ䙦ᡶ䙧㐹 ᡓ䖓䙦ᡶ䙧Esempio.䚀㔅 sin 䙦ᡲ䙧ᡖᡲ⡱け
⡰け䚁䖓
= 3 ᡱᡡᡦ 䙦3ᡶ䙧 − 2 sin 䙦2ᡶ䙧