Soluzione: Sia dm = μ(x,y) dA , la massa elementare del pezzo dA. Il momenti statico dS x di questa
massa elementare rispetto all’asse delle x è il suo prodotto per la sua ordinata y:

dSx = y dm cioè dS x = y μ(x,y) dA

Il momento statico della piastra D rispetto all’asse delle x, è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale doppio:

Sx =∫∫ Dy μ( x , y ) dx dy

Ugualmente si trova il momento statico della piastra D rispetto all’asse delle y :

=∫∫

D

Sy x μ( x , y ) dx dy^

1.4 Problema. Trovare il centro della gravità, il centro delle masse, della piastra D con la
densità di superficie μ(x,y).
Soluzione:
Il centro G( X G, Y G) delle masse si definisce come un punto materiale dove è concentrata tutta la
massa della piastra e ha verso gli assi gli stessi momenti statici come la piastra stessa.
Perciò si ottiene:
XG m = S y
YG m = Sx
quindi

=^1 ⋅∫∫ ( , ) ,

D

XG m y μ x y dx dy

= ⋅∫∫

D

YG m x ( x , y ) dx dy

(^1) μ
dove =∫∫
D
m μ( x , y ) dx dy^
Nel caso in cui la piastra è omogenea, cioè con la densità di superficie costante μ(x,y) = μ, allora
portando fuori l’integrale la μ e semplificando, le formule per trovare il centro delle masse sono
∫∫
∫∫

D
G D
dx dy
ydx dy
X
∫∫
∫∫

D
G D
dx dy
xdx dy
Y
1.5 Problema. Trovare i momenti d’inerzia rispetto agli assi delle coordinate x e y di
piastra D con la densità puntuale di superficie μ(x,y).
Soluzione: Sia dm = μ(x,y) dA , la massa elementare del pezzo dA= dxdy. Il momento d’inerzia dIx
di questa massa elementare rispetto all’asse delle x è il suo prodotto per il quadrato della distanza
dall’asse:
dIx = y^2 dm cioè dIx = y^2 μ(x,y) dA.
Il momento d’inerzia della piastra D rispetto all’asse delle x, è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale doppio: