㔉ᡘ䙦..ᡕᡧᡱ‖ ,..ᡱᡡᡦ‖ 䙧..
々䖔ᡖ..ᡖ‖ = 㔅 ᡖ‖ 㔅 ᡘ䙦..ᡕᡧᡱ‖,..ᡱᡡᡦ‖ 䙧..ᡖ..ゖㄘ䙦ょ䙧ゖㄗ䙦ょ䙧ょㄘょㄗii) Il polo si trova dentro dalla zona.
In questo caso il bordo della zona sarà una funzione del tipo .. 㐄 ..䙦‖䙧 ᡕᡧᡦ 0 ≤ ‖ ≤ 2..
L’integrale nelle coordinati polari sarà calcolato in questo caso con la formula:㔉ᡘ䙦..ᡕᡧᡱ‖,..ᡱᡡᡦ‖ 䙧..
々䖔ᡖ..ᡖ‖ = 㔅 ᡖ‖ 㔅 ᡘ䙦..ᡕᡧᡱ‖,..ᡱᡡᡦ‖ 䙧..ᡖ..ゖ䙦ょ䙧⡨⡰ゕ⡨Esercizio. Calcolare l’integrale:∫∫々 㒓けㄘ⡩⡸げㄘᡖᡶᡖᡷ ᡖᡧᡴᡗ ᡤᡓ ᡸᡧᡦᡓ ᠰ è ᡤ䖓ᡓᡦᡗᡤᡤᡧ ᡨᡡᡗᡦᡧ ᡰ⡰≤ ᡶ⡰㎗ᡷ⡰≤ ᡄ⡰.Soluzione: Il polo e dentro la zona quindi passando nelle coordinate polari si ottiene:
㔉1
㒓ᡶ⡰㎗ᡷ⡰ᡖᡶᡖᡷ 㐄 㔉..ᡖ..ᡖ‖
..
々䖓㐄 㔅 ᡖ‖㔅ᡖ.. 㐄 2.䙦ᡄ ㎘ᡰ䙧〙ぅ⡰ゕ々 ⡨
Nel modo analogo si studiano i casi quando il polo si trova sul bordo della zona.
Esercizio. Calcolare l’integrale doppio:
㔉㒓ᡶ⡰㎗ᡷ⡰ᡖᡶᡖᡷ ᡖᡧᡴᡗ ᡤᡓ ᡸᡧᡦᡓ ᠰ è
々ᡡᡤ ᡕᡗᡰᡕℎᡡᡧ ᡶ⡰㎗䙦ᡷ ㎘ᡰ䙧⡰≤ ᡰ⡰Soluzione. Passando nelle coordinate polari il cerchio D si trasforma :
ᡶ⡰㎗䙦ᡷ ㎘ᡰ䙧⡰≤ ᡰ⡰ ᡧᡨᡨᡳᡰᡗ ᡶ⡰㎗ᡷ⡰㎘2ᡷᡰ ㎗ᡰ⡰≤ ᡰ⡰ ᡱᡡ ℎᡓ ..⡰㎘2..ᡰᡱᡡᡦ‖ ≤ 0
Oxyr ROxy2rρθθ