Soluzione :
Sia dm = μ(x,y) dr , la massa elementare del pezzo dr. Il momento statico dS x di questa massa
elementare rispetto all’asse delle x è il suo prodotto per la sua ordinata:
dS x = y dm cioè dS x = y μ(x,y) dr.
Il momento statico della curva L rispetto all’asse delle x è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale curvilineo di primo specie:

=∫

L

Sx y μ( x , y ) dr

Ugualmente si trova il momento statico della curva rispetto all’asse delle y:

=∫

L

Sy x μ( x , y ) dr

1.4 Problema. Trovare il centro delle masse (il centro della gravità) di una curva L con la densità
lineare μ(x,y).
Soluzione :
Il centro G ( X G, Y G) delle masse si definisce come un punto materiale dove è concentrata tutta la
massa della curva ed ha verso gli assi gli stessi momenti statici come la curva stessa. Perciò si
ottiene:
XG m = Sy
YG m = Sx
quindi

=^1 ⋅∫ ( , ) ,

L

XG m x μ x y dr

= ⋅∫

L

YG m y ( x , y ) dr

(^1) μ
dové =∫ ( , ).
L
m μ x y dr
Nel caso in cui la curva è omogenea , cioè con la densità lineare costante μ(x,y) = μ , allora
portando fuori l’integrale la μ e semplificando, le formule per trovare il centro delle masse saranno
∫
∫

L
G L
dr
xdr
X
∫
∫

L
G L
dr
ydr
Y.
1.5 Problema 4. Trovare i momenti d’inerzia di una curva L con la densità lineare μ(x,y) rispetto
agli assi delle coordinate x e y.
Soluzione :
Sia dm = μ(x,y) dr , la massa elementare del pezzo dr. Il momento d’inerzia dIx di questa massa
elementare rispetto all’asse delle x è il suo prodotto per il quadrato della distanza dall’asse:
y
x
dr
x
y