Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

dIx = y^2 dm cioè dIx = y^2 μ(x,y) dr.
Il momento d’inerzia della curva L rispetto all’asse delle x è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale curvilineo di primo tipo:

Ix = ∫

L

y^2 μ(x,y) dr

Ugualmente si trova il momento d’inerzia della curva rispetto all’asse delle y:
Iy = ∫
L

x^2 μ(x,y) dr.

Nel caso in cui la densità lineare e costante uguale al μ = 1. I momenti d’inerzia sono:

Ix = ∫

L

y^2 dr Iy = ∫

L

x^2 dr.

1.6 Problema. Trovare il momento d’inerzia di una curva L con la densità lineare μ(x,y) rispetto
all’origine delle coordinate.
Soluzione :
Sia dm = μ(x,y) dr , la massa elementare del pezzo dr. Il momento d’inerzia dIo di questa massa
elementare rispetto all’origine è il suo prodotto per il quadrato della distanza da questo punto:

dIo = (x^2 + y^2 ) dm ovvero dIo = (x^2 + y^2 ) μ(x,y) dr

Il momento d’inerzia Io della curva L rispetto all’origine, è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale curvilineo di primo specie:

Io =∫ L ( x + y ) ( x , y ) dr

(^22) μ
Teorema:
Il momento d’inerzia di una curva materiale piana rispetto ad un punto è uguale alla somma dei
momenti d’inerzia di questa curva rispetto alle due assi perpendicolari che passano per questo
punto.
Infatti, basta scomporre l’ultimo integrale in due e si ottiene:
Io = Ix + Iy.
Gli stessi problemi si possono risolvere con l’integrale curvilineo del primo tipo nel caso in qui la
curva si trova nello spazio.
Calcolo dell’integrale curvilineo del primo tipo.
Il calcolo dell’integrale curvilineo del primo tipo si fa con aiuto dell’integrale definito secondo i
casi diversi della curva data.
dr
dy
dz
dx
y
x
z
L