Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Il pezzo infinitesimo dr della curva L nello spazio è quasi uguale alla diagonale del parallelepipedo
rettangolare con i lati dx,dy,dz. quindi si ottiene :

ᡖᡰ 㐄㒓䙦ᡖᡶ䙧⡰㎗䙦ᡖᡷ䙧⡰㎗䙦ᡖᡸ䙧⡰

Nel piano il pezzo infinitesimo dr della curva L è quasi uguale alla diagonale del triangolo
rettangolo con i cateti dx, dy, quindi si ottiene :

ᡖᡰ 㐄㒓䙦ᡖᡶ䙧⡰㎗䙦ᡖᡷ䙧⡰

1. Caso. La curva L è nello spazio ed è stata data con le equazioni parametriche :

L









=

=

=

()

()

()

z zt

y yt

x xt

con α ≤ t ≤ β

allora dr = ( dx )^2 +( dy )^2 +( dz )^2 = ( x ,( t ))^2 +( y (' t ))^2 +( z (' t ))^2 ⋅ dt

quindi si ottiene la formula del calcolo:

∫ L f(x,y,z) dr = ∫

β

α

f(x(t),y(t),z(t)). ( x ,( t ))^2 +( y (' t ))^2 +( z (' t ))^2 ⋅ dt. ( 1 )

Esercizio 1. Calcolare l’integrale zdr dové AB èl arco della spirale nello spazio
AB

∫ '

data dalle equazioni parametriche:

䚂

        x 㐄cos  t

y= sin  t

z= t

                                                con                     0 ≤ t ≤

π

2

̄

Soluzione.

㐡

    ᡖᡶ =    −sinᡲ   ᡖᡲ  

ᡖᡷ = cosᡲ   ᡖᡲ

ᡖᡸ = 1  ᡖᡲ

̄                           ᡕᡧᡦ         ᡖᡲ > 0

dr (^) dy
dx
x
y
L