Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

ᠧᠨ = 㔅 ᡖᡰ =

。〃

㔅㒓䙦ᡖᡶ䙧⡰㎗䙦ᡖᡷ䙧⡰

⡩

⡨

㐄 㔅 ᡖᡷ 㐄 1

⡩

⡨

c) Tratto BC è dato dal sistema delle equazioni:

䙶

ᡶ 㐄 ᡶ

ᡷ 㐄 1                                           ᡕᡧᡦ                 2 ≥ ᡶ ≥0                            ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ          ᡖᡶ 㐄 1  ᡖᡶ  , ᡖᡷ = 0. ̄^

In questo tratto, come abbiamo scritto il sistema, la variabile x è decrescente, quindi

dx < 0, allora questo esce dalla radice quadrata con un segno meno davanti :

ᠨᠩ = 㔅 ᡖᡰ =

〃〄

㔅㒓䙦ᡖᡶ䙧⡰㎗䙦ᡖᡷ䙧⡰

⡨

⡰

㐄 㔅 ㎘ᡖᡶ 㐄 2

⡨

⡰

d) Tratto CO è dato dal sistema delle equazioni:

㐠ᡶ 㐄ᡷ = ᡷ^0                                             ᡕᡧᡦ                 1 ≥ ᡷ ≥ 0                           ᡩᡳᡡᡦᡖᡡ          ᡖᡶ 㐄0   , ᡖᡷ = 1    ᡖᡷ. ̄

In questo tratto, come abbiamo scritto il sistema, la variabile y è decrescente, quindi
dy < 0, allora questo esce dalla radice quadrata con un segno meno davanti :

ᠩᡁ = 㔅 ᡖᡰ =

〄〖

㔅㒓䙦ᡖᡶ䙧⡰㎗䙦ᡖᡷ䙧⡰

⡨

⡩

㐄 㔅 ㎘ᡖᡷ 㐄 1

⡨

⡩

5. Caso. La curva è piana nelle coordinate polari con equazione :
   .. = ..䙦‖䙧 ᡕᡧᡦ ‖⡩≤ ‖ ≤ ‖⡰.
   In questo caso dalle formule delle coordinate polari si ottiene:

㐠ᡶ 㐄 ..

䙦‖䙧cos‖

ᡷ = ..䙦‖䙧sin‖                                                   ᡕᡧᡦ                     ‖⡩≤ ‖ ≤ ‖⡰.

̄

essendo qui l’angolo ‖ come parametro, si ottiene :

dr = ( x ,(θ))^2 +( y ('θ))^2 = (ρ)'^2 +ρ^2 d θ

quindi la formula per il calcolo dell’integrale curvilineo del primo tipo sarebbe:

ρθ θ ρθ θ ρ ρ θ

θ

θ

f xy dr f d

S ∫ ∫

= +

2

1

( , ) ( ( )cos , ( )sin ) '^22

Esercizio 7.
Trovare il baricentro della curva data nelle coordinate polari .. = ᡱᡡᡦ ‖ ᡨᡗᡰ 0 ≤ ‖ ≤ ..
Soluzione:

ᡐ〈=

1

ᡥ㔅ᡶ ᡖᡰ

ゕ

⡨

,               ᡑ〈=     

1

ᡥ㔅 ᡷ    ᡖᡰ

ゕ

⡨

ᡥᡗᡦᡲᡰᡗ                              ᡥ    㐄      㔅 ᡖᡰ.

ゕ

⡨