Calcoliamo questi tre integrali:
ᡥ 㐄 㔅 ᡖᡰ 㐄ゕ
⡨㔅㒓ᡕᡧᡱ ⡰‖ ㎗ᡱᡡᡦ ⡰‖ ᡖ‖ 㐄.ゕ
⡨㔅 ᡶ ᡖᡰゕ
⡨㐄 㔅 sin θ cos‖㒓ᡕᡧᡱ ⡰‖ +ᡱᡡᡦ ⡰‖ ᡖ‖ = 㔅 cos‖ᡖ䙦cos‖䙧 㐄 0ゕ
⡨ゕ
⡨㔅 ᡷ ᡖᡰ
ゕ
⡨= 㔅 sin‖sin‖㒓ᡕᡧᡱ ⡰‖ +ᡱᡡᡦ ⡰‖ ᡖ‖ = 㔅 ᡱᡡᡦ ⡰‖ᡖ‖ =1
2ゕ
⡨㔅 䙦1−cos2‖䙧 ᡖ‖ 㐄.
2ゕ
⡨ゕ
⡨
quindi il baricentro è ᠳ = 䙦 0 ; ⡩⡰ 䙧.
- Integrale curvilineo di secondo tipo.
La curva negli integrali curvilinei di secondo tipo è orientata per cui spesso questo tipo di
integrale si dice anche integrale di linea.2.1 Problema. Calcolare il lavoro W fatto da una forzaF x y ( , )= P x y i ( , ) + Q x y j ( , )ur r rche sposta un punto materiale dalla posizione A nella posizione B movendo lungo la data curva
piana orientata AB.
Soluzione.
Il lavoro elementare dW fatto dalla forza
→
F = ( P, Q ) nello spostamento elementaredr =( , dx dy )
uur
è il prodotto scalare :dW =→ →
F ⋅ droppure nelle coordinate è:
dW = P x y dx Q x y dy ( , )⋅ + ( , ) ⋅
FdryxBA