Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Possiamo scrivere la formula che collega l’integrale di primo tipo con l’integrale curvilineo di
secondo tipo sulla stessa curva orientata AB.

P x y dx Qx y dy P x y Qx y dr

AB AB

∫ ( , ) + ( , ) =∫( ( , )cosα+ ( , )sin α)^

Nello spazio la curva orientata liscia AB ha come vettore direttore della retta tangente

ᡖᡰ䙒䙒䙒䙒ጘ㐄 䙦ᡖᡶ ,ᡖᡷ,ᡖᡸ 䙧
Siano α,β,γ gli angoli che il vettore direttore della tangente forma con rispettivi assi delle
coordinate x, y, z. Allora avremmo:
dx = cos α. dr
dy = cos β. dr
dz = cos γ. Dr

La formula che collega l’integrale di primo tipo con l’integrale di secondo tipo sulla stessa curva
orientate AB, sarà:

Pdx Qdy Rdz P Q R dr

AB AB

∫ + + = ∫( cos α+ cos β + cos γ)^

4. Legame tra l’integrale doppio e l’integrale curvilineo. Formula di Green.
   Sia data nel piano una curva chiusa L orientata nel senso antiorario e sia D la zona dentro questa
   curva, allora è vera la formula di Green:

∫∫ ∂ =∫ +

−∂

∂

∂

D L

dx dy Pdx Qdy

y

P

x

( Q )

Dimostrazione: Pongo che la zona e regolare nella direzione y.

∫∫ ∫ ∫ ∂ =∫ −∫ =∫ −∫

= ∂

∂

∂

AB

b

a

y x

y x

b

a

b

D a DC

dy P x y x dx P x y x dx P x y dx P x y dx

y

dx dy dx P

y

P () ( , ( )) ( , ( )) ( , ) ( , )

()

2 1

2

1

Siccome ∫ =−∫
DC CD

mentre ∫ =

CB

P ( x , y ) dx (^0) ∫ =
AD
P ( x , y ) dx 0
si ottiene
a b
D
A B
D y 2 (x) C
y 1 (x)
y
x
0