Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ =−∫











=− + + +

∂

∂

D AB BC CD DA L

dx dy Pdx Pdx Pdx Pdx Px y dx

y

P ( , )

ovvero

∫∫ =∫ ( , ) )1(

∂

− ∂

D L

dx dy P x y dx

y

P

Nello stesso modo si può dimostrare che avremmo:

∫∫ =∫ ( , ) )2(

∂

∂

D L

dx dy Qx y dy

x

Q

Sommando a membro a membro (1) e (2), si ottiene la formula di Green.
Si può dimostrare che la formula di Green è vera per qualsiasi zona che può essere divisa nelle
zone regolari nella direzione y.
Applicazioni interessanti della formula di Green con cui possiamo calcolare l’area della zona D con
un integrale curvilineo secondo la frontiera della zona orientata nel verso antiorario.

1) Ponendo Q(x,y) = x , P(x,y) = 0 dalla formula di Green si ottiene :

Area D = ∫∫ = ∫

D L

dx dy xdy (3)

2) Ponendo Q(x,y) = 0 e P(x,y) = -y si ha :

Area D = ∫∫ =−∫
D L

dx dy ydx (4)

3. Sommando (4) e (5) si ottiene :

= ∫ −

L

Area D xdy ydx

2

1

(5)

La formula (5) ci da la possibilità a trovare l’area di una zona piana e chiusa con aiuto di un
integrale curvilineo di secondo tipo calcolato sulla frontiera della zona nel senso antiorario.
Esercizio : Trovare l’area della zona limitata dall’ellisse di semiassi a, b.
Soluzione:

Le equazioni parametriche dell’ellisse sono 0 2 π
sin

cos

≤ ≤







=

=

con t

y b t

x a t

a

b

x

y