Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

Quindi dalla formula (5) si ha:

Area del ellisse = xdy ydx a t b t b t a t dt ab dt ab
L

π

π π

∫ − = ∫ ⋅ + ⋅ = ∫ =

2

0

2

0 2

( cos cos sin sin )

2

1

2

(^1)

5. L’indipendenza dell’integrale curvilineo dalla forma della curva nel piano.
   Sia D una zona aperta in cui le funzioni P(x,y) e Q(x,y) hanno derivati parziali del primo ordine e
   continue. Pongo che la zona D e con un legame , cioè che ogni linea chiusa e liscia che si trova in
   questa zona è la frontiera di una zona che si trova completamente nella D.
   Per esempio, zone con un legame sono il piano xy, il cerchio, ecc.

5.1 Teorema
Nella zona D le due seguenti proposizioni sono equivalenti:

1. L’integrale curvilineo di secondo tipo:

( , ) ( , )

AB

∫ P x y dx Q x y dy ⋅ + ⋅ (1)

non dipende dalla forma della curva che unisce le due punti A e B.

2) L’integrale curvilineo secondo ogni curva chiusa L che si trova nella zona D è uguale a

zero cioè:

=∫ ( , ) + ( , ) = 0

L

IL P x y dx Qx y dy (2)

Dimostrazione:

1. Siccome IA1B = IA2B allora IL = IA1B + IB2A = IA1B – IA2B = 0


2. Viceversa siccome IL = 0, allora 0 = IA1B2A = IA1B + IB2A = IA1B – IB2A
   da cui si ottiene
   IA1B = IB2A
   c.v.d.
   Osservazione : La dimostrazione del teorema non dipende dal verso orario oppure antiorario
   scelto sulla curva chiusa L per il calcolo dell’integrale IL.
   5.2 Teorema.
   Le due seguenti proposizioni sono equivalenti:


3. L’integrale curvilineo di secondo tipo (1):

A

B

D

1

2

y

L