Mehdi Shkreli. INTEGRALI.

( , ) ( , )

AB

∫ P x y dx Q x y dy ⋅ + ⋅

non dipende dalla forma della curva che unisce le due punti A e B.
2) In ogni punto della zona D è vera l’uguaglianza:

x

Q

y

P

∂

=∂

∂

∂ (3)

Dimostrazione:

1) Siccome l’integrale curvilineo (1) non dipende dalla forma della curva, allora dalla teorema

5.1 si ottiene che l’integrali curvilineo secondo di ogni curva chiusa L è uguale a zero. Dalla

formula di Green:

∫∫ ∂ =∫ +

−∂

∂

∂

D L

dx dy Pdx Qdy

y

P

x

( Q )

Si ottiene

( ) = 0

∂

−∂

∂

∂

∫∫

D

dx dy

y

P

x

Q

ovvero

= 0

∂

−∂

∂

∂

x

Q

y

P da cui (3)

2) Siccome è vera (3) allora dalla formula di Green si ottiene:

∫ + =^0

L

Pdx Qdy

quindi dalla teorema (5.1) si ottiene che l’integrale curvilineo (1) non dipende dalla forma della
curva che unisce i due punti A e B.
Esempio 1

L’integrale ∫ + +
AB

( x^3 y^3 ) dx 3 y^2 xdy siccome

x

y Q

y

P

∂

= =∂

∂

∂ 3 2 allora dalla teorema (4.2)

non dipende dalla forma della curva che unisce i due punti A e B.

Controesempio 1.
Calcolando l’integrale seguente

IL = ∫

• 
  

+

+

−

L

dy

x y

dx x

x y

y

2 2 2 2

nella circonferenza chiusa x = r cos t , y = r sin t con 0 ≤ t ≤ 2π , si ottiene

ᠵ〓= 㔅 䙦     

ᡰ   ᡱᡡᡦᡲ

ᡰ⡰

⡰ゕ

⡨

    ᡰ   ᡱᡡᡦᡲ    +

ᡰcosᡲ

ᡰ⡰  ᡰcosᡲ       䙧   ᡖᡲ 㐄 㔅 ᡖᡲ 㐄 2.

⡰ゕ
⡨
Mentre per ogni punto (x, y) del piano, tranne (0, 0) si ha:

2 2 2

2 2

( x y )

y x

x

Q

y

P

+

= −

∂

=∂

∂

∂