Per trovare la funzione potenziale possiamo calcoliamo prima la funzione primitiva U con formula
(3) e poi la funzione potenziale.
Sia F䙒ጘ䙦x,y䙧㐄P䙦x,y䙧ıጘ ㎗Q䙦x,y䙧ȷጘ la forza che produce il lavoro infinitesimale dato da una
forma differenziale esatta:
ᡂ ᡖᡶ ㎗ᡃ ᡖᡷ
Per questa forma esiste la funzione primitiva U tale che ᡖ ᡇ 㐄 ᡂ ᡖᡶ ㎗ᡃ ᡖᡷ , allora per il
differenziale dV della funzione potenziale si ha:
ᡖᡈ 㐄 ㎘䙦ᡂ ᡖᡶ ㎗ᡃ ᡖᡷ䙧
oppure
dy Pdx Qdy
ydx V
xV =− −
∂+∂
∂∂da qui si ottiene:
ᝉᝈᝇ′′′ᡈ
′′′ᡶ 㐄 ㎘ ᡂ
′′′ᡈ
′′′ᡷ 㐄 ㎘ ᡃ̄In altre parole, le derivate parziali della funzione potenziale sono uguali, con segno meno, alle
coordinate rispettive della forza.
Esercizio.
Si data la forza F =( ey + x , xey − 2 y )
→. Calcolare il lavoro svolto da questa forza secondo una
linea orientata che unisce i punti A(1, 0) e B(2, 1).
Soluzione:
Il lavoro W si trova dall’integrale curvilineo:
W = ∫ + + −
AB( ey x ) dx ( xey 2 y ) dyIl calcolo diretto di questo integrale non è immediato e non lo facciamo. Cerchiamo di calcolare
con auto della funzione primitiva se è possibile secondo la formula (1).
Siccome per questo integrale abbiamo
ey
xQ
dyP
=
∂∂
=∂