Quindi

= ⋅∫∫ ⋅

S

XG m x ( x , y , z ) dS

(^1) μ
= ⋅∫∫ ⋅
S
YG m y ( x , y , z ) dS
(^1) μ
= ⋅∫∫ ⋅
S
ZG m z ( x , y , z ) dS
(^1) μ
dove ⋅= ∫∫
S
m μ( x , y , z ) dS
Nel caso in cui la piastra è omogenea, cioè con la densità di superficie costante μ(x,y,z) = μ, allora
portando fuori dall’integrale la μ e semplificando, le formule per trovare il centro delle masse
saranno
∫∫
∫∫

S
G S
dS
xdS
X
∫∫
∫∫

S
G S
dS
ydS
Y
.
∫∫
∫∫

S
G S
dS
zdS
Z.
Problema 5. Trovare i momenti d’inerzia di una piastra con la densità di superficie μ(x,y,z)
rispetto ai piani xy, xz, e yz.
Soluzione:
Sia dm = μ(x,y,z) dS , la massa elementare del pezzo dS. Il momento d’inerzia dIxy di questa massa
elementare rispetto al pianoxy è il suo prodotto per il quadrato della distanza dal piano:
dIxy = z^2 dm cioè dIxy = z2.μ(x,y,z) dS.
Il momento d’inerzia della piastraS rispetto al piano xy, è la somma di tutti questi momenti
elementari, cioè l’integrale di superficie di primo specie:

= ∫∫ ⋅

S

Ixy z ( x , y , z ) dS

(^2) μ
Ugualmente si trova il momento d’inerzia della piastra rispetto ai piani xz, e yz.:

=∫∫ ⋅

S

Ixz y ( x , y , z ) dS

(^2) μ

= ∫∫ ⋅

S

Iyz x ( x , y , z ) dS

(^2) μ
Problema 6. Trovare il momento d’inerzia di una piastra S con la densità di superficie μ(x,y,z)
rispetto all’origine delle coordinate.
Soluzione: