2° Caso. La superficie orientata S è data con dell’equazioni espliciti cartesiani.
Per esempio sia S data con l’equazione cartesiana z = z(x,y), allora
Si può usare la formula del primo caso considerando x e y come parametri u, v
cioè considerando che la superficie S è data con l’equazioni parametriche:
=
=
=
z z ( x , y )
y y
x x
L’integrale di superficie di secondo tipo è una somma di tre integrali di superficie secondo le
proiezioni sui piani:
Pdy dz Qdx dz Rdx dy Pdy dz Qdz dx Rdx dy I 1 I 2 I 3
S S S S
∫∫ + + =∫∫ +∫∫ +∫∫ = + +^
Sia che la superficie S è data con l’equazione z = z (x,y) , allora la formula del calcolo per la
proiezione sul piano xy sarà:
= ∫∫ = ∫∫
S SXY
I 3 R ( x , y , z ) dx dy R ( x , y , z ( x , y )) dx dy
Nel modo analogo si ottengono l’altre formule per calcolo degli integrali di superficie di secondo
tipo nelle proiezioni sugli altri piani coordinativi:
= ∫∫ = ∫∫
S SYZ
I 1 P ( x , y , z ) dy dz P ( x ( y , z ), y , z ) dy dz
= ∫∫ = ∫∫
S SZX
I 2 Q ( x , y , z ) dz dx Q ( x , y ( z , x ), z ) dz dx
Esercizio 1.
Calcolare l’integrale di superficie di secondo tipo:
I = ∫∫ + +
S
xdy dz dx dz xz^2 dx dy
Dove S è la faccia esterna della superficie sferica che si trova nel primo ottante, cioè:
S ={( x , y , z )∈ R^3 ; x^2 + y^2 + z^2 = r^2 , con x > ,0 y > ,0 z > 0 }