Siano SYZ, SXZ, SXY le proiezioni della superficie S nei piano coordinativi. Calcoliamo i tre integrali:

3

0

2

0 0

2

3

2 2

2 2 2 2 2

(^136)
( )
2
r
r
I xdy dz r y z dy dz d r d
r
S S
r
YZ
π ρ π
θ ρ ρ ρ
π











−

=∫∫ ∫∫= − − =∫ ∫ − = ⋅ −

=∫∫ ∫∫= =

S SZY

I 2 dx dz dx dz r^2

4

π

,

questo integrale ci da l’area della zona SZX , cioè un quarto dell’area del cerchio.

( )^5

2

0 0

3 2 2 2 2 2 2

15

I xz dx dy xr x y dx dy cos d r ( r ) d^2 r

∫∫ S S ∫∫ XY ∫ ∫

= = − − = − =

π

θ θ ρ ρ ρ ρ ,

quindi 1 2 3 3 2 5
15

2

6 4

I = I + I + I =π r +π r + r

3. Legame tra l’integrali di superficie di primo e secondo tipo.

Sia ds un pezzo infinitesimo della superficie S. Sia N

r
il vettore che ha il verso positivo della
superficie.
allora si hanno le formule :

cos( , )

cos( , )

cos( , )

dz dx ds N y

dy dz ds N x

dx dy ds N z

r

r

r

= ⋅

= ⋅

= ⋅

quindi otteniamo la formula che collega l’integrali di superficie di secondo e del primo tipo.

∫∫ + + =∫∫ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

S S

Pdy dz Qdz dx Rdx dy [ P cos( N , x ) Q cos( N , y ) R cos( N , z ]) dS

r r r

(1)

Esercizio 2.
Calcolare l’integrale di superficie di secondo tipo:

I =∫∫ S xdy dz + ydz dx + zdx dy , dove S è la faccia esterna della superficie sferica x

(^2) + y (^2) + z (^2) = r (^2).
Soluzione.
Passiamo in un integrale di superficie di primo tipo con aiuto della formula (1)