BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

Untuk n → ¥ diperoleh

lim

푛→∞

푆(푃)= lim

푛→∞

∑ 푓(푧(

푛

푘= 1

푡

푘

∗

))

(푧(푡

푘

)−푧(푡

푘− 1

))

푡

푘

− 푡

푘− 1

(푡

푘

– 푡

푘− 1

)

=

∫

푓 (푧(푡))푧

′

(푡)푑푡

훽

훼

Jadi integral f(z) pada lintasan C dapat dinyatakan dengan

∫ 푓

(

푧

)

푑푧= ∫ 푓 (푧

(

푡

)

)푧

′

(

푡

)

푑푡

훽

퐶 훼

.

Untuk menghitung integral lintasan di atas dilakukan cara sebagai berikut :

1. Nyatakan lintasan C dalam z(t) = x(t) + iy(t) , α ≤ t ≤ β


2. Cari turunan, 푧

′

(푡)

3. Subtitusikan z(t) ke dalam f(z)


4. Integralkan

Contoh 1. Tentukan

∫

푓(푧)푑푧

퐶

jika f(z) = (x + y) + iy dari z = 0 ke z = 1 + i ,

jika C adalah :

a. Garis lurus yang menghubungkan z = 0 ke z = 1 + i.

b. Parabola y = x

2

c. Ruas garis dari z = 0 ke z = 1, kemudian dari z = 1 ke z = 1 + i.

Penyelesaian.

a. dalam kasus ini lintasan C adalah z (t) = t + it, 0 ≤ t ≤ 1 dan z

’

(t) = 1 + i.

dengan demikian integral menjadi