D. TEOREMA INTEGRAL CAUCHY (GOURSAT)
Cauchy-Goursat Menyatakan teorema bahwa dalam domain tertentu
integral dari fungsi analitik atas kontur tertutup sederhana adalah nol.
Perpanjangan dari teorema ini memungkinkan kita untuk mengganti integral
lebih dari kontur rumit tertentu dengan integral lebih dari kontur yang
mudah untuk mengevaluasi.kita akan melihat bahwa teorema Cauchy-
Goursat menyiratkan bahwa fungsi analitik memiliki antiturunan. Untuk
memulai, kita perlu memperkenalkan beberapa konsep baru. Bila f(z)
analitik pada kontur tertutup C sembarang dan di dalam daerah yang
dibatasinya, maka :
∮푓(푧)푑푧= 0
퐶
Dengan kata lain integral fungsi kompleks tidak tergantung lintasan yang
dilewatinya. Bukti pernyataan ini dapat diruntut sebagai berikut :
Untuk vektor dua dimensi (F = F
x
i
ˆ
+ F
y
j
ˆ
), teorema Stokes pada integral
vektor akan
menghasilkan teorema Green berikut :
∮푓
푥
푑푥+푓
푦
푑푦=∫∫(
휗푓푦
휗푥
−
휗푓푥
휗푦
)푑푥푑푦
푅
푐
dimana adalah daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Apabila
teorema ini ke-
mudian diterapkan pada integrasi kompleks :
∮푓
(
푧
)
푑푧= ∮
(
푢+푖푣
)(
푑푥+푖푑푦
)
푐
푐
=∮( 푢푑푥+푣푑푦)+푖(푣푑푥+푣푑푦)
푐
=∫∫[ (
푣
푢
푣
푥
−
푣
푢
푣
푦
)+(
푣
푢
푣
푥
−
푣
푢
푣
푦
)]푑푥푑푦
푅
= 0
