푓

′

(푧)=−

1

(푧− 3 )

2

, f(z) tidak analitik di z 3 dan z 3 terletak di luar C.

Oleh karena itu, f(z) analitik di dalam dan pada lintasan C, sehingga

0

( 3 )

1







dz

z

C

Bentuk lain

Teorema

Cauchy

Goursat :

Jika fungsi f(z) analitik di seluruh domain

terhubung sederhana D, maka untuk setiap lintasan

tertutup C di dalam D, berlaku





C

f(z)dz 0

Teorema

Cauchy

Goursat

yang

Diperluas :

Diberikan suatu lintasan tertutup

C

, sedangkan

n

C ,C , ,C

1 2

 adalah lintasan-lintasan tertutup yang

terletak di interior C sedemikian sehingga

n

C ,C , ,C

1 2



tidak saling berpotongan. Jika fungsi

f(z)analitik di dalam daerah tertutup yang terdiri

dari titik-titik pada C dan titik-titik di dalam C,

kecuali titik-titik interior

n

C ,C , ,C

1 2

 , maka

   

   

C C C C

n

f z dz f z dz f z dz f z dz

1 2

( ) ( ) ( )  ( )

C

1

C f(z) tidak analitik

f(z) analitik

Apabila C kontur tertutup sederhana maka ∫푑푧= 0 ,

퐶

∫푧푑푧= 0 ,

퐶

∫푑푧

2

=

퐶

0 ,, karena 푓 푧 = 1 , 푧 푑푎푛 푧

2

masing-masing merupakan fungsi menyeluruh

dan derivatifnya kontinu dimanapun.

Goursat merupakan orang pertama yang membuktikan hilangnya syarat

kontinu pada 푓 ′ (푧). Penghilangnya syarat ini penting dan salah satu akibat

misalnya, derivative dari fungsi analitik adalah juga analitik, sehingga

muncul revisi dari teorema Cauchy yang dikenal dengan teorema Cauchy –

Goursat yaitu: