BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

hanya jika untuk setiap bilangan 휀> 0 terdapat bilangan asli 푛
0

sehingga jika 푛>푛
0

berlaku

|

푧

푛

−푧

|

<휀. Bilangan kompleks yang

memenuhi definisi di atas disebut limit barisan {푧
푛

}. Notasi barisan {푧

푛

}

konvergen ke 푧 adalah :

푧

푛

→푧 atau lim

푛→∞

푧

푛

=푧

Teorema 1 (Ketunggalan Limit)

Jika suatu barisan bilangan kompleks konvergen, maka barisan

tersebut mempunyai limit tunggal.

Bukti :

Andaikan lim

푛→∞

푧

푛

=푧

1

dan lim

푛→∞

푧

푛

=푧

2

dengan 푧

1

≠푧

2

. Diambil bilangan

휀=

1

2

|푧

1

−푧

2

|> 0 sembarang, terdapat bilangan asli 푛

0

sehingga jika

푛>푛

0

berlaku

|푧

푛

−푧

1

|<

1

2

|푧

1

−푧

2

| dan |푧

푛

−푧

2

|<

1

2

|푧

1

−푧

2

|

Diperoleh

|푧

1

−푧

2

|=|(푧

1

−푧

2

)+(푧

푛

−푧

2

)|≤|푧

1

−푧

푛

|+|푧

푛

−푧

2

|

<

1

2

|

푧

1

−푧

2

|

+

1

2

|

푧

1

−푧

2

|

Hal ini mustahil terjadi. Ini berarti pengandaian 푧

1

≠푧

2

salah. Jadi

haruslah 푧

1

=푧

2

dengan kata lain lim

푛→∞

푧

푛

tunggal.

Contoh :

Tentukan beberapa suku pertama dari barisan berikut dan apakah

termasuk baris konvergen?

푧

푛

=

2 푛−푖

푛+ 2 푖

Jawab :

푧

푛

=

2 푛−푖

푛+ 2 푖

푧

1

=

2 ( 1 )−푖

1 + 2 푖

=

2 −푖

1 + 2 푖

푧

2

=

2 ( 2 )−푖

2 + 2 푖

=

4 −푖

2 + 2 푖