푧
3=
2 ( 3 )−푖
3 + 2 푖
=
6 −푖
3 + 2 푖
Didapat barisan =
2 −푖1 + 2 푖,
4 −푖2 + 2 푖,
6 −푖3 + 2 푖,...
lim푛→∞
푧
푛= lim푛→∞2 푛−푖
푛+ 2 푖
=lim푛→∞2 푛
푛
−
푖
푛
푛
푛
+
2 푖
푛
=
2 −
푖
∞
1 +
2 푖
∞
=
2 − 0
1 + 0
= 2
Karena menghasilkan nilai real maka termasuk baris konvergen, yaitu
konvergen ke 2.
Teorema 2
Diberikan 푧
푛
=푥
푛+푖푦
푛untuk setiap 푛∈푁 dan 푧=푥+푖푦.lim푛→∞
푧
푛=푧 jika dan hanya jika lim푛→∞푥
푛=푥 dan lim푛→∞푦
푛=푦.
Bukti :
Diberikan bilangan 휀> 0 diketahui lim
푛→∞푧
푛=푧, berarti terdapat bilanganasli 푛
0sehingga 푛>푛0berlaku :|푧
푛−푧|=|(푥
푛+푖푦
푛)−(푥+푖푦)|
=
|
(푥
푛−푥)+푖(푦
푛−푦
)
|<휀
Dengan demikian untuk sebarang bilangan 휀> 0 diatas, didapat
bilangan 푛
0sehingga 푛>푛0berlaku :|푥
푛−푥|≤|(푥
푛−푥)+푖(푦
푛−푦)|<휀 dan|푦
푛−푦|≤|(푥
푛−푥)+푖(푦
푛−푦)|<휀 danJadi terbukti bahwa
lim푛→∞
푥
푛=푥 dan lim푛→∞푦
푛