B. DERET BILANGAN KOMPLEKS
A. Deret Bilangan Kompleks
Deret bilangan kompleks adalah limit barisan jumlah bagiannya.
Misalkan {푍
푛
} adalah suatu barisan yang mana barisan itu diturunkan
menjadi barisan lain {푆
1
,푆
2
,푆
3
,...,푆
푛
,... } yang suku-sukunya didefinisikan
menjadi:
푆
1
=푧
1
푆
2
=푧
1
+푧
2
푆
3
=푧
1
+푧
2
+푧
3
푆
푛
=푧
1
+푧
2
+푧
3
+⋯+푧
푛− 1
+푧
푛
Jika suku-suku barisan {푆
푛
} menunjukan adanya nilai limit maka
penjumlahan suku-sukunya tidak berhingga. Sehingga dapat ditulis :
lim
푛→∞
푆
푛
=∑ 푧
푛
∞
푛= 1
- Deret Konvergen
Kekonvergenan suatu deret ditentukan oleh ada atau tidak
adanya limit barisan jumlah bagiannya. Kekonvergenan deret
tersebut disajikan pada definisi berikut ini:
Definisi 1:
a. Deret
∑
푧
푛
∞
푛= 1
konvergen ke 푆 jika dan hanya jika lim
푛→∞
푆
푛
=푆
b. Deret
∑
푧
푛
∞
푛= 1
divergen ke 푆 jika dan hanya jika lim
푛→∞
푆
푛
tidak
ada.
Teorema 1:
Jika ∑ 푧
푛
∞
푛= 1
konvergen maka lim
푛→∞
푧
푛
= 0.
Bukti
Misalkan
∑
푧
푛
∞
푛= 1
konvergen ke 푠, maka lim
푛→∞
푆
푛
=푠. Perhatikan
bahwa 푧
푛
=푆
푛
−푆
푛− 1
sehingga lim
푛→∞
푧
푛
=lim
푛→∞
푆
푛
−푆
푛− 1
=
lim
푛→∞
푆
푛
−lim
푛→∞
푆
푛− 1
=푠−푠= 0.
Konvers teorema di atas tidak berlaku, jika lim
푛→∞
푧
푛
= 0 , tidak dapat
disimpulkan bahwa ∑ 푧
푛
∞
푛= 1
konvergen.
Contoh: lim
푛→∞
푖
푛
= 0 tetapi deret
∑
푖
푛
∞
푛= 1
divergen.
Akan ditunjukan bahwa deret
∑
푖
푛
∞
푛= 1
divergen. Perhatikan bahwa:
푆
1
=푖, 푆
2
=푖+
푖
2
푆
4
=푖+
푖
2
+
푖
3
+
푖
4
>푖+
푖
2
+
푖
4
+
푖
4
=푖+
2 푖
2
