BAB 3
TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS
A. Gradien, Divergensi, Curl, dan Laplacian
Kita mendefinisikan ∇ (푑푒푙) dan ∇
̅
(푑푒푙 푏푎푟) dengan :
∇=
휕
휕푥
+푖
휕
휕푦
= 2
휕
휕푥
, ∇
̅
=
휕
휕푥
+푖
휕
휕푦
= 2
휕
휕푥
Operator ∇ memungkinkan untuk mendefinisikan operasi gradien. Dalam
semua kasus 퐹(푥,푦) dipandang sebagai suatu fungsi riil yang memiliki
turunan kontinu terhadap 푥 dan 푦 (skalar), sedangkan 퐴(푥,푦)=푃(푥,푦)+
푖 푄(푥,푦) adalah sutu fungsi kompleks yang memiliki turunan kontinu
terhadap 푥 dan 푦 (vektor).
1. Gradien
Kita mendefinisikan gradien dari suatu fungsi riil 퐹 (skalar) sehingga
Gradien 퐹=∇퐹=
휕퐹
휕푥
+푖
휕퐹
휕푦
= 2
휕퐺
휕푖
Secara ilmu ukur ini menyatakan suatu vektor normal pada kurva 퐹
(
푥,푦
)
=푐
dimana 푐 suatu konstanta. Dengan cara yang sama gradien suatu fungsi
kompleks 퐴=푃+푖푄 (vektor) didefinisikan sebagai
Gradien 퐴=∇퐴=(
휕
휕푥
+푖
휕
휕푦
)
(
푃+푖푄
)
=
휕푃
휕푥
−
휕푄
휕푦
+푖(
휕푃
휕푦
+
휕푄
휕푥
)= 2
휕퐵
휕푖
Khususnya, jika 퐵 suatu fungsi analitik dari 푍 maka
휕퐵
휕푖
= 0 , sehingga
gradiennya nol, yaitu
휕푃
휕푥
=
휕푄
휕푦
,
휕푃
휕푦
=−
휕푄
휕푥
Contoh :
- Misal 퐹=− 4 푥
3
푦
2
+ 3 푖푥
2
푦
5
tentukan gradien 퐹!
Penyelesaian :
Gradien 퐹=∇퐹=(
휕
휕푥
+푖
휕
휕푦
)
(
− 4 푥
3
푦
2
+ 3 푖푥
2
푦
5
)
