BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

lim

푛→∞

∣

푍

푛+ 1

푍

푛

∣=lim

푛→∞

∣

( 2 + 2 푖)

푛+ 1

(푛+ 1 )!

( 2 + 2 푖)

푛

푛!

∣= lim

푛→∞

∣

2 + 2 푖

푛+ 1

∣=lim

푛→∞

√ 8

푛+ 1

= 0

Jadi menurut uji ratio, diperoleh bahwa deret tersebut konvergen

mutlak.

2. Uji Akar

Andaikan ∑ 푈

푛

∞

푛= 1

adalah deret dengan suku-suku positif dan

andaikan lim

푛→∞

√

푈

푛

푛

=lim

푛→∞

(푈

푛

)

1

푛

⁄

a. Jika 퐿< 1 , maka deret konvergen

b. Jika 퐿> 1 , maka deret divergen

c. Jika 퐿= 1 , maka deret dapat konvergen atau divergen

Bukti :

a. Andaikan 퐿< 1 , maka 푟=

1

2

⁄

(

1 +퐿

)

. Jadi 퐿<푟< 1 , karena r

adalah titik tengah antara L dan 1. Andaikan 휖=푟−퐿 dan 휖>

0.

Karena 퐿=lim

푛→∞

(푈

푛

)

1

푛

⁄

, maka untuk setiap 휖> 0 ada bilangan

postif 푁 sedemikian sehingga untuk setiap 푛≥푁 berlaku ∣

(

푈

푛

)

1

푛

⁄

−L∣<휖 sehinggga

(

푈

푛

)

1

푛

⁄

−L+휖 dank arena 휖=푟−

퐿 maka

(

푈

푛

)

1

푛

⁄

<푟

2

untuk 푛≥푁.

Kita memperoleh pertidaksamaan sebagai berikut :

푈

1

<푟

푈

2

<푟

2

푈

3

<푟

3

... ... ... ...

Sehingga ∑ 푟

푛

=푟+푟

2

+푟

3

+⋯+푟

푛

+⋯

∞

푛= 1

karena 푟< 1 ,

maka ∑ 푟

∞ 푛

푛= 1

konvergen, sehingga berdasarkan uji banding

diperoleh karena 푈

푛

<푟

푛

maka

∑

푈

푛

∞

푛= 1

juga konvergen.

b. Andaikan 퐿> 1 dan 휖=퐿− 1 adalah bilangan positif

Karena 퐿=lim

푛→∞

(푈

푛

)

1

푛

⁄

, maka setiap 휖> 0 ada bilangan postif

푁 sedemikian hingga untuk setiap 푛≥푁 berlaku ∣

(

푈

푛

)

1

푛

⁄

−L∣

<휖 jadi

(

푈

푛

)

1

푛

⁄

>퐿−휖. Karena 휖=퐿− 1 , maka

(

푈

푛

)

1

푛

⁄

> 1

atau (푈

푛

)

1

푛

⁄

> 1

푛

untuk 푛≥푁. Kita memperoleh

ketidaksamaan sebagai berikut:

푈

1

> 1

1

푈

2

< 1

2

푈

3

< 1

3