BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

D. DERET LAURENT DAN INTEGRAL RESIDU

A. Deret Laurent

1. Definisi Deret Laurent

Deret Laurent merupakan bentuk umum dari Deret Taylor yang

memuat bentuk (푧 − 푧

0

) berpangkat bilangan bulat negatif ditambah

dengan (푧 − 푧

0

) berpangkat bilangan bulat positif (berhingga atau

tak berhingga).

Penguraian suatu fungsi 푓(푧) ke dalam deret Taylor menyatakan

fungsi itu di dalam lingkaran konvergensinya. Namun, yang sering

hanyalah bagian daerah analitisitasnya, yakni 푓.

Misalnya, deret ∑푧

2

konvergen ke 푓(푧) =

1

( 1 −푧)

hanya pada cakram

|푧| < 1 , meskipun 푓 analitik dimana-mana kecuali pada 푧 = 1. Lalu

pertanyaan yang sesuai adalah; adakah suatu penguraian deret yang

menyatakan 푓 di dalam daerah yang lebih lengkap, atau mungkin,

pada semua titik dimana 푓 analitik? Nah, hal inilah yang menjadi

tujuan utama dari pasal ini, yakni untuk memberikan jawaban

terhadap pertanyaan yang umum dan wajar atau sesuia, salah

satunya dengan mengembangkan deret Laurent pada fungsi analitik.

Berikutnya, akan ditunjukkan bahwa deret Laurent suatu fungsi

푓(푧) konvergen, umumnya terdapat di dalam anulus melingkar 푟 <

|푧 − 푐| < 휌. Hal inilah yang menjadi dasar penggunaan anulus

konvergensi sebagai pengganti lingkaran konvergensi.

2. Teorema Laurent

Jika diketahui fungsi 푓(푧) analitik pada setiap titik di anulus

tertutup

퐴:푟≤|푧−푧

0

|≤휌

Maka terdapat suatu deret dalam (푧−푧

0

) berpangkat positif dan

negatif yang menyatakan 푓 pada setiap titik 휁 di dalam anulus

(terbuka) 푟<

|

푧−푧

0

|

<휌∶

풇(휁)=∑푎

푛

(휁−푧

0

)

푛

+

∞

푛= 0

∑

푏

푛

(휁−푧

0

)

푛

∞

푛= 1