BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

dimana 푟 adalah sembarang lintasan tertutup sederhana yang

berorientasi positif yang terletak di dalam anulus konvergensi dan

memuat pusat penguraian 푐 di bagian dalamnya.

Penting untuk diperhatikan bahwa, jika diketahui suatu fungsi 푓(푧)

dan suatu titik 푐 pada bidang datar, kemungkinan besar fungsi 푓

dapat mempunyai lebih dari satu deret Laurent dengan pusat 푐

(tergantung pada anulus konvergensi dimana deret Laurent

dimaksud menyatakan 푓. Alasannya karena secara umum,

banyaknya deret Laurent yang berbeda bagi suatu fungsi 푓 akan

bergantung pada pusat 푐 dan banyaknya singularitas fungsi 푓.

Misalnya fungsi :

푓(푧)=

3

푧(푧− 1 )

mempunyai tiga penguraian deret yang berbeda dengan pusat pada

푐=−푖, yakni:

1. Suatu deret Taylor yang konvergen di dalam cakram terbuka

|푧+푖|< 1

2. Suatu deret Laurent yang mempunyai anulus konvergensi 1 <

|

푧+푖

|

< 2

3. Suatu deret Laurent yang konvergen di dalam anulus 2 <

|푧+푖|<∞

Pada contoh berikut, akan diilustrasikan berbagai teknik untuk

mengembangkan deret Laurent bagi fungsi analitik. Penentuan

koefisien berdasarkan rumus Teorema Laurent pada umumnya

sangat rumit, susah dipakai, maka dari itu, biasanya digunakan cara

yang lebih simpel (langsung), yakni cara substitusi dan operasi pada

deret.

Contoh 1

Tentukan penguraian deret laurent bagi fungsi f

(

푧

)

=

1

푧

dengan pusat

푐= 1 dan anulus konvergensi 퐴: 1 <

|

푧− 1

|

<∞.

Penyelesaian :

Bahwa 푓 analitik di dalam 퐴, maka dalam notasi Teorema Laurent, 푟

dan 휌 dapat berupa sembarang bilangan nyata yang lebih besar dari

1.

Berikutnya, akan dicari sebuah deret dalam (푧− 1 ) yang konvergen

ke 푓(푧) untuk semua 푧 sedemikian sehingga

|

푧− 1

|

> 1.

Dari pertidaksamaan |푧− 1 |> 1 diperoleh :