BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

1

|푧− 1 |

< 1

Oleh karena itu, besaran

1

(푧− 1 )

dapat disubstitusikan untuk 푧 dalam

sembarang deret yang konvergen untuk

|

푧

|

< 1 , sekarang kita punya

:

1

푧

=

1

(푧− 1 )+ 1

=

1

푧− 1

1

1 +

1

푧− 1

=

1

푧− 1

∑(− 1 )

푛

∞

푛= 0

(

1

푧− 1

)

푛

,|

1

푧− 1

|< 1

=∑(− 1 )

푛

∞

푛= 0

1

(푧− 1 )

푛+ 1

, 1 <|푧− 1 |<∞

Jadi, deret Laurent bagi f(푧) adalah :

1

푧

=

1

푧− 1

−

1

(

푧− 1

)

2

+

1

(

푧− 1

)

3

−⋯

Dan anulus konvergensinya adalah 1 <

|

푧− 1

|

<∞.

Contoh 2

Carilah suatu penguraian deret untuk fungsi :

푓(푧)=

1

(푧− 1 )(푧+ 1 )

dalam anulus 0 <

|

푧− 1

|

< 2 “di antara” kedua titik singular 푧= 1 dan

z=− 1.

Penyelesaian :

Langkah awal : gunakan asas substitusi, diperoleh :

1

푧+ 1

=

1

2 +(푧− 1 )

=

1

2

1

1 +

푧− 1

2

=

1

2

∑ (− 1 )

푛

(

푧− 1

2

)

푛

,

∞

푛= 0

|

푧− 1

2

|< 1

=∑(− 1 )

푛

∞

푛= 0

(푧− 1 )

푛

2

푛+ 1

,

|

푧− 1

|

< 2