BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

(Jenriani Astutiyk9Clq) #1
Perlu, dicatat bahwa, ini merupakan deret Taylor yang konvergen

pada bagian dalam lingkaran |푧− 1 |= 2.

Langkah kedua :

Gandakan deret di atas dengan

1

푧− 1

yang merupakan deret Laurent

dalam (푧− 1 ), diperoleh :

1


(푧− 1 )(푧+ 1 )


=∑(− 1 )




푛= 0

(푧− 1 )



2

푛+ 1

=

1

2 푧− 1


1

4

+

1

8

(푧− 1 )−⋯

Langkah ketiga :

Keluarkan titik z= 1 dari daerah konvergensinya, sehingga menjadi

0 <|푧− 1 |< 2.

Contoh 3

Dengan cara yang sama seperti no. 2, carilah penguraian deret untuk

푓(푧)=




2

, dengan pusat pada 푐= 0.

Penyelesaian :




2

=∑



푛!


푛= 0

,

|


|

<∞

Berikutnya, kalikan kedua ruas dengan

1


2

untuk memperoleh :




2

=∑


푛− 2

푛!


푛= 0

=

1


2

+

1


+

1

2!

+


3!

+⋯

Yang konvergen untuk semua 푧≠ 0 ; jadi pada anulus 0 <|푧|<∞.

Latihan Soal



  1. Perderetan fungsi berikut pada daerah yang diketahui :


a. 푓

(


)

=

1


2

( 1 −푧)

, 0 <

|


|

< 1
Free download pdf