Perlu, dicatat bahwa, ini merupakan deret Taylor yang konvergen
pada bagian dalam lingkaran |푧− 1 |= 2.
Langkah kedua :
Gandakan deret di atas dengan
1
푧− 1
yang merupakan deret Laurent
dalam (푧− 1 ), diperoleh :
1
(푧− 1 )(푧+ 1 )
=∑(− 1 )
푛
∞
푛= 0
(푧− 1 )
푛
2
푛+ 1
=
1
2 푧− 1
−
1
4
+
1
8
(푧− 1 )−⋯
Langkah ketiga :
Keluarkan titik z= 1 dari daerah konvergensinya, sehingga menjadi
0 <|푧− 1 |< 2.
Contoh 3
Dengan cara yang sama seperti no. 2, carilah penguraian deret untuk
푓(푧)=
푒
푧
푧
2
, dengan pusat pada 푐= 0.
Penyelesaian :
푒
푧
푧
2
=∑
푧
푛
푛!
∞
푛= 0
,
|
푧
|
<∞
Berikutnya, kalikan kedua ruas dengan
1
푧
2
untuk memperoleh :
푒
푧
푧
2
=∑
푧
푛− 2
푛!
∞
푛= 0
=
1
푧
2
+
1
푧
+
1
2!
+
푧
3!
+⋯
Yang konvergen untuk semua 푧≠ 0 ; jadi pada anulus 0 <|푧|<∞.
Latihan Soal
- Perderetan fungsi berikut pada daerah yang diketahui :
a. 푓
(
푧
)
=
1
푧
2
( 1 −푧)
, 0 <
|
푧
|
< 1
