BUKU ANALISIS KOMPLEKS LANJUTAN

b. 푓(푧)=

1

푧

2

( 1 −푧)

, 1 <|푧|

c. 푓(푧)=

푧

푧

2

− 4 푧+ 3

, 0 <|푧− 1 |< 2

2. Ekspansikan dalam deret Laurent dengan daerah konvergensinya

berbentuk 푅

0

<

|

푧

|

<푅

1

dari fungsi berikut dan tentukan daerah

konvergensinya :

a. 푓(푧)=

1

푧

3

( 1 −푧)

b. 푓

(

푧

)

=

8 − 2 푧

4 푧−푧

3

c. 푓

(

푧

)

=

1

푧

6

( 1 ∓푧)

2

3. Perderetkan 푓(푧)=

1

1 −푧

2

pada daerah

a.

|

푧

|

< 1

b.

|

푧

|

> 1

c. 0 <|푧− 1 |< 2

4. Asas substitusi akan digunakan sekali lagi untuk deret Laurent bagi

푐표푠(

1

푧

)=∑

(− 1 )

푛

( 2 푛)!푧

2 푛

∞

푛= 0

yang anulus konvergensinya adalah 0 <|푧|<∞ dan diperoleh dari

daerah konvergensinya

|

푧− 1

|

<∞ bagi deret cosinus dengan

mengeluarkan 푧= 0

5. Uraikan fungsi 푓(푧)=

5 푧+ 2 푖

푧(푧+푖)

di dalam anulus 1 <|푧−푖|< 2

B. Integral Residu

1. Integral Residu

Tujuan dari integral residu adalah untuk mencari hasil dari integral

∮푓

(

푧

)

푑푧

푐

, yakni integral dari fungsi 푓(푧) pada kurva tertutup 퐶. Hasil

integral tersebut hanya ada pada dua kemungkinan berikut ini:

 Jika 푓(푧) analitik di dalam atau pada kurva 퐶 maka hasil integral

ini sama dengan nol.

 Jika 푓(푧) memiliki singularitas (ada pole) pada titik (misalnya (푧=

푧

0

)), sementara di daerah lain (tetap di dalam atau pada kurva 퐶)

bersifat analitik, maka 푓(푧) dapat dinyatakan menjadi deret

Laurent, berikut ini:

푓(푧)=∑ 푎

푛

(푧−푧

0

)

푛

+

푏

1

푧−푧

0

+

푏

2

(

푧−푧

0

)

2

+

푏

3

(

푧−푧

0

)

3

∞

푛= 0

+⋯

Maka residu dari fungsi 푓(푧) adalah koefisien dari

1

푧−푧

0

dalam hal ini

푏

1

. Dituliskan dalam bentuk: