푏
1
=푅푒푠
푧=푧
0
푓(푧)
2. Residu untuk Simple Pales
Simple poles adalah pole atau titik singular dengan orde satu.
Ada dua rumus untuk mencari residu dari fungsi 푓(푧) yang memiliki
simple poles, yaitu:
푅푒푠
푧=푧
0
푓(푧)=푏
1
=lim
푧→푧
0
(푧−푧
0
)푓(푧)
Misalkan fungsi 푓(푧) dapat dinyatakan dalam bentuk 푓(푧)=
푝(푧)
푞(푧)
dengan 푝(푧
0
)≠ 0 dan 푞(푧) memiliki simple zero pada 푧−푧
0
maka:
푅푒푠
푧=푧
0
푓
(
푧
)
=푅푒푠
푧=푧
0
푝(푧)
푞
(
푧
)
=
푝(푧)
푞′
(
푧
)
Jika 푞(푧) memiliki simple zero ini berarti 푓(푧) memiliki simple pole.
3. Residu pada Poles Berorde Banyak
Misalkan fungsi 푓(푧) memiliki pole berorde 푛, maka untuk mencari
residunya, digunakan rumus berikut:
푅푒푠
푧=푧
0
푓
(
푧
)
=
1
(
푛− 1
)
!
lim
푧→푧
0
{
푑
푛− 1
푑푧
푛− 1
[(
푧−푧
0
)
푛
푓
(
푧
)]
}
Contoh soal
Tentukan residu pada semua titik singular (poles) dari fungsi berikut
ini:
1) 푓(푧)=
4
1 +푧
2
2) 푓(푧)=
푐표푠 푧
푧
4
3) 푓
(
푧
)
=
4
(푧
2
− 1 )
2
Penyelesaian:
1) 푓
(
푧
)
=
4
1 +푧
2
Bila diuraikan, maka fungsi ini akan menjadi
푓
(
푧
)
=
4
1 +푧
2
=
4
(푧+푖)(푧−푖)
Sehingga dihasilkan 푧
0
=−푖 (orde 1/simple pole)
푧
0
=푖 (orde 1/simple pole)
푝
(
푧
)
= 4 ,푞
(
푧
)
=푧
2
+ 1 ,푞
′
(
푧
)
= 2 푧
Dengan menggunakan rumus berikut diperoleh:
